九州大学 1998年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

関数 $f (x) = e^{x} - e^{- x}$ について，次の問に答えよ．

(1) $x = - 1$ から $x = 2$ までの $f (x)$ の定積分を求めよ．

(2) $d_{j} = 1 + \frac{j - 1}{m}$ とし， $G_{m} = \frac{1}{m} j = 1 \sum m f (d_{j})$ とする．このとき， $m \to \infty lim G_{m}$ を求めよ．

出典：九州大学 1998年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

(1)は原始関数 $e^{x} + e^{- x}$ を使って定積分を計算する。(2)は $d_{j} = 1 + (j - 1) / m$ 、幅 $1/ m$ の和なので、区間 $[1, 2]$ における左端リーマン和として読む。極限はそのまま $\int_{1}^{2} f (x) d x$ になる。

解答

(1)

$f (x) = e^{x} - e^{- x}$ である。原始関数は $\int (e^{x} - e^{- x}) d x = e^{x} + e^{- x}$ であるから $\int_{- 1}^{2} (e^{x} - e^{- x}) d x = [e^{x} + e^{- x}]_{- 1}^{2}$ $= e^{2} + e^{- 2} - (e^{- 1} + e) = e^{2} + e^{- 2} - e - e^{- 1}$ である。

(2)

$d_{j} = 1 + \frac{j - 1}{m}$ であるから、 $d_{j}$ は区間 $[1, 2]$ を $m$ 等分したときの左端の点である。また係数 $1/ m$ は小区間の幅である。したがって $G_{m} = \frac{1}{m} \sum_{j = 1}^{m} f (d_{j})$ は、区間 $[1, 2]$ における $f (x)$ の左端和である。よって $lim_{m \to \infty} G_{m} = \int_{1}^{2} (e^{x} - e^{- x}) d x$ である。これを計算すると

\int_{1}^{2} (e^{x} - e^{- x}) d x = [e^{x} + e^{- x}]_{1}^{2} = e^{2} + e^{- 2} - e - e^{- 1}

である。

別解。指数の和として直接計算してもよい。 $G_{m} = \frac{1}{m} \sum_{j = 1}^{m} (e^{1 + (j - 1) / m} - e^{- 1 - (j - 1) / m})$ であり、これはそれぞれ等比数列の和である。 $m$ を大きくすると幅 $1/ m$ の長方形和になるので、上と同じく $[1, 2]$ の定積分に収束する。有限和の形から見ても、極限で得られる値は $e^{2} + e^{- 2} - e - e^{- 1}$ である。

九州大学 1998年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 1998年度
後期・理系数学後期第3問