九州大学 1998年度
後期・理系数学 後期 第2問

解答

まず $g_n(x)={\int }_0^x(x-y{)}^{n-1}(y-1)dy$ を計算する。$u=x-y$ と見ると ${\int }_0^x(x-y{)}^{n-1}ydy=\frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$ であり、また ${\int }_0^x(x-y{)}^{n-1}dy=\frac{x^n}{n}$ である。したがって $g_n(x)=\frac{x^{n+1}}{n(n+1)}-\frac{x^n}{n}=\frac{x^n(x-n-1)}{n(n+1)}$ である。

これを微分すると $g_n^{\prime }(x)=\frac{x^{n-1}(x-n)}{n}$ となる。 $n=1$ のとき $g_1^{\prime }(x)=x-1$ である。したがって $x<1$ で減少、$x>1$ で増加し、$x=1$ で極小値 $g_1(1)=-\frac{1}{2}$ をとる。 $n\geqq 2$ で $n$ が奇数のとき、$n-1$ は偶数なので $x^{n-1}\geqq 0$ である。したがって $g_n^{\prime }(x)$ の符号は $x-n$ の符号で決まり、$x<n$ で減少、$x>n$ で増加する。$x=0$ でも導関数は0になるが、符号は変わらないので極値ではない。よって $x=n$ で極小値 $g_n(n)=\frac{n^n(n-n-1)}{n(n+1)}=-\frac{n^{n-1}}{n+1}$ をとる。 $n\geqq 2$ で $n$ が偶数のとき、$n-1$ は奇数なので $x^{n-1}$ の符号は $x$ の符号と同じである。したがって $g_n^{\prime }(x)$ の符号は $x(x-n)$ の符号で決まる。すなわち $x<0\text{ で増加},0<x<n\text{ で減少},x>n\text{ で増加}$ である。よって $x=0$ で極大値 $g_n(0)=0$ をとり、$x=n$ で極小値 $g_n(n)=-\frac{n^{n-1}}{n+1}$ をとる。