九州大学 1998年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

次の条件で定められる数列 ${a_{n}}$ について，以下の問に答えよ．

a_{1} = 1, a_{2} = 2, a_{n + 2} a_{n} + a_{n + 1} a_{n + 1} - a_{n + 1} a_{n} = 0

(1) 第 $n$ 項 $a_{n}$ を求めよ．

(2) 初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$ を求めよ．

出典：九州大学 1998年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

隣り合う項の比 $r_{n} = a_{n + 1} / a_{n}$ を置くと、与えられた漸化式は $r_{n + 1} = 1 - r_{n}$ という2周期の関係になる。初期値 $r_{1} = 2$ から比が $2, - 1, 2, - 1, \dots$ と繰り返すことを使って、奇数番目と偶数番目の一般項を分けて求める。和は2項ずつ組にして等比数列の和にする。

解答

(1)

まず $a_{1} = 1$ 、 $a_{2} = 2$ であり、以下で得られる式から各項は0にならない。そこで $r_{n} = \frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ とおく。与えられた漸化式 $a_{n + 2} a_{n} + a_{n + 1}^{2} - a_{n + 1} a_{n} = 0$ を $a_{n} a_{n + 1}$ で割ると $\frac{a _{n + 2}}{a _{n + 1}} + \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} - 1 = 0$ である。したがって $r_{n + 1} + r_{n} - 1 = 0$ すなわち $r_{n + 1} = 1 - r_{n}$ である。 $r_{1} = a_{2} / a_{1} = 2$ だから $r_{2} = - 1, r_{3} = 2, r_{4} = - 1$ となり、以後 $r_{2 j - 1} = 2, r_{2 j} = - 1$ を繰り返す。よって $a_{2 j} = 2 a_{2 j - 1}, a_{2 j + 1} = - a_{2 j}$ である。したがって $a_{2 j - 1} = (- 2)^{j - 1}, a_{2 j} = 2 (- 2)^{j - 1}$ である。

(2)

2項ずつ組にすると $a_{2 j - 1} + a_{2 j} = (- 2)^{j - 1} + 2 (- 2)^{j - 1} = 3 (- 2)^{j - 1}$ である。したがって

S_{2 m} = j = 1 \sum m 3 (- 2)^{j - 1} = 3 \cdot \frac{1 - ( - 2 ) ^{m}}{1 - ( - 2 )} = 1 - (- 2)^{m}

である。また $S_{2 m - 1} = S_{2 m} - a_{2 m} = {1 - (- 2)^{m}} - 2 (- 2)^{m - 1} = 1$ である。よって $S_{2 m - 1} = 1, S_{2 m} = 1 - (- 2)^{m}$ である。

九州大学 1998年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 1998年度
後期・理系数学後期第1問