問題
関数（ただし，，は自然数）のにおける最大値をとするとき，次の問に答えよ．
(1) で定義された関数の最小値を求めよ．ただし，は正の定数とする．
(2) のとき，すべての自然数に対してとなることを示せ．
(3) サイコロが1個と，表に1，裏に2の数字が書かれているコインが1枚あり，これらを同時に投げる．をこのとき出たサイコロの目の数，をコインの数字とするとき，が以上となる確率を求めよ．
方針
(1)はと置いてを最小化する。(2)ではのとき、正の側での値が以上であることを(1)から示せば、最大値はそれ以上である。(3)では定義域がなので、も候補になる。でが奇数ならが偶数なのでとなり条件を満たす。が偶数のときだけ正の側の最大値を比較し、失敗するのがだけであることを数える。
解答
(1) とおくと、よりであり である。対数をとって とおく。これをで微分すると である。したがって最小となるのは のときである。このとき だから、最小値は である。
(2) とする。において は、微分によりで最大値 をとる。これは(1)で, としたときの値であり、(1)の最小値より である。さらに だから である。
(3) 全事象は、サイコロの目とコインの数字の組で、全部で12通りである。
まずの6通りは、(2)よりすべて を満たす。
次にを考える。が奇数、すなわちのとき、は偶数であるから である。よってこの3通りは明らかに を満たす。
残りはである。このときではなので、最大値は正の側で調べればよい。での最大値は である。 のときは である。ここではを用いた。したがっては条件を満たさない。 のときは、より である。のときも である。したがってでは6通りのうち5通りが条件を満たす。
以上より条件を満たすのは 通りである。求める確率は である。