問題
軸上の点を中心とし，を半径とする円（ただし，）と，原点を通り円に接する直線のうち正の傾きをもつ直線を考える．
(1) との間に
なる関係がある場合，を変化させたときの円と直線との接点の軌跡の方程式を求め，図示せよ．
(2) 上で求めた曲線と直線およびとで囲まれた図形を軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ．
出典：九州大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第1問
方針
接点では、半径と接線方向が直交する。この条件と円の方程式から、をで表す。与えられたの式により、では直線、では放物線になる。(2)では、曲線と, で囲まれる領域を、で直線部分と放物線部分に分け、軸まわりのワッシャーで積分する。
解答
(1) 接点をとする。円の中心はであるから、半径方向のベクトルは であり、原点から接点へ向かう接線方向のベクトルは である。半径と接線は直交するので である。または円上にあるから である。これらを解くと である。正の傾きの接線を考えるのでをとる。 ではであるから である。したがって軌跡は である。 ではであるから である。また なので である。このときよりである。したがって軌跡は、で直線、で放物線をつないだ曲線である。
(2) 求める図形は、下側が、右端が、上側が(1)で求めた曲線である。では上側が、では上側がである。
したがって、軸のまわりに回転してできる体積は
である。計算すると であり
となる。よって である。