九州大学 1997年度
後期・理系数学 後期 第2問

解答

問題の初項を$x_1=a$と読む。与えられた関係 $x_n=\frac{b{x}_{n+1}}{1-x_{n+1}}$ を$x_{n+1}$について解くと $x_n(1-x_{n+1})=b{x}_{n+1}$ より $x_{n+1}=\frac{x_n}{b+x_n}$ である。$a>0$, $b>0$なので、すべての$n$で$x_n>0$である。

(1) $y_n=\frac{1}{x_n}$ とおく。すると $y_{n+1}=\frac{b+x_n}{x_n}=b{y}_n+1$ であり $y_1=\frac{1}{a}$ である。 $b=1$のとき $y_{n+1}=y_n+1$ だから $y_n=\frac{1}{a}+n-1$ である。よって $x_n=\frac{a}{1+a(n-1)}$ である。 $b\ne 1$のとき、一次漸化式を解いて $y_n=b^{n-1}{y}_1+1+b+\cdots +b^{n-2}$ である。したがって $y_n=\frac{b^{n-1}}{a}+\frac{b^{n-1}-1}{b-1}$ であり $x_n=\frac{1}{\frac{b^{n-1}}{a}+\frac{b^{n-1}-1}{b-1}}$ である。

(2) $b=1$のとき、(1)より$y_n\to \infty$なので $x_n\to 0$ である。$b>1$のときも$b^{n-1}\to \infty$であり、$y_n\to \infty$だから $x_n\to 0$ である。 $0<b<1$のとき、$b^{n-1}\to 0$であり $\frac{b^{n-1}-1}{b-1}\to \frac{1}{1-b}$ だから $y_n\to \frac{1}{1-b}$ である。よって $x_n\to 1-b$ である。

以上より

である。