問題
放物線と直線を考える．ただし，とする．放物線と直線との原点以外の交点をとして，放物線のにおける接線とにおける接線の交点をとおき，線分の中点を，3点，，から等距離にある点をとおく．このとき次の問に答えよ．
(1) ，，，の座標を求めよ．
(2) 線分，の長さをそれぞれ，とするとき，をの式で表せ．
(3) を動かしたとき，の描く曲線の概形を図示せよ．
(4) 上で求めた曲線と軸および直線で囲まれる部分の面積を求めよ．
方針
まず放物線と直線の原点以外の交点を求める。放物線のでの接線は、での接線は微分係数を使って書き、その交点をとする。はの中点である。は三角形の外心なので、を座標で解く。(2)はからを代入してを表す。(3),(4)はの媒介変数表示を用い、の枝が軸と直線に囲まれる部分を作ることを確認して面積を求める。
解答
(1) 放物線と直線の交点は すなわち を満たす。原点以外の交点は である。したがって である。
放物線の導関数は である。原点における接線は である。またにおける接線の傾きは である。この接線との交点を求めると である。
したがってはの中点なので である。
次にとおく。はから等距離にあるので である。これは
と同値である。ここにの座標を代入して解くと である。
(2) なのでである。したがって である。また計算すると である。を代入して を整理すると である。
(3) (1)より、の軌跡は で表される。のとき であり、この点は直線上にあるが、なので到達しない。のとき であり、ここで軸と交わる。では第1象限を右上へ伸びる。これらをもとに概形を描けばよい。
(4) 囲まれる部分は、に対応する曲線の枝、軸、直線で囲まれる部分である。媒介変数表示 を用いる。
境界を、軸上の線分、曲線、直線の順に回ると、直線上ではであり、軸上でも寄与は0である。したがって面積は曲線部分だけから で求められる。ここで だから である。よって である。