問題
1から9までの数字が1つずつ書いてあるカードが，それぞれ1枚ずつ，合計9枚ある．これらを3枚ずつの3つのグループに無作為に分け，それぞれのグループから最も小さい数の書かれたカードを取り出す．次の問いに答えよ．
(1) 取り出された3枚のカードの中に4が書かれたカードが含まれている確率を求めよ．
(2) 取り出された3枚のカードに書かれた数字の中で4が最大である確率を求めよ．
方針
(1) は「4が取り出される」ことを、4を含むグループで4が最小になることに言い換える。(2) はグループ分け全体を数え、4を含むグループの相手二枚を5以上から選ぶ。残り二グループでは、取り出される最小値がどちらも4未満になるように、1,2,3 が一方に固まる場合だけを除く。
解答
(1)
4 が書かれたカードが取り出されるためには、4 を含むグループの中で 4 が最小であればよい。4 と同じグループに入る残り二枚は、4 以外の 8 枚から選ばれる。その二枚がどちらも 5 以上であれば、4 がそのグループの最小になる。
5 以上のカードは 5,6,7,8,9 の 5 枚であるから、求める確率は
である。
(2)
まず、9 枚を 3 枚ずつの 3 つのグループに分ける総数を数える。グループの順序を区別しないので 通りである。
取り出された三枚の最大が 4 であるためには、まず 4 が取り出されなければならない。したがって 4 と同じグループの残り二枚は、5 以上の 5 枚から選ぶ必要があり、その選び方は 通りである。
このあと残る 6 枚は、1,2,3 の三枚と、5 以上の三枚である。これらを 3 枚ずつの 2 グループに分ける方法は 通りである。このうち、1,2,3 が同じグループに入る場合だけは、もう一方のグループがすべて 5 以上になり、そのグループから取り出される最小値が 4 より大きくなる。これは不適である。
したがって残り二グループの分け方は 通りである。よって有利な分け方は 通りで、求める確率は である。
別解。(1) より 4 が取り出される確率は である。その条件のもとで残る 6 枚は、1,2,3 と 5 以上の三枚であり、2 グループへの分け方は 10 通りである。最大が 4 になるには、残り二グループのどちらにも 1,2,3 のうち少なくとも一枚が入ればよいので、不適なのは 1,2,3 が一つのグループに固まる 1 通りだけである。したがって条件付き確率は で、 となる。