九州大学 1996年度
理系数学 第2問

解答

(1)

円周 $C$ は球面 $S$ 上にある。$C$ 上を動く点を $X$ とすると、球面の方程式は $|\overrightarrow{OX}{|}^2=1$ である。点 $P$ における接線方向を $\vec{v}$ とすると、$|\overrightarrow{OX}{|}^2$ を点 $P$ で動かしたときの一次の変化は $2\overrightarrow{OP}\cdot \vec{v}$ であり、球面上ではこれが $0$ でなければならない。したがって $\overrightarrow{OP}\cdot \vec{v}=0$ である。よって接線 $l$ は $\overrightarrow{OP}$ に直交する。

(2)

点 $P$ における球面の接平面 $\beta$ は、半径 $\overrightarrow{OP}$ に垂直である。$P=(1/\sqrt{3},1/\sqrt{3},1/\sqrt{3})$ だから $\frac{x}{\sqrt{3}}+\frac{y}{\sqrt{3}}+\frac{z}{\sqrt{3}}=1$ すなわち $x+y+z=\sqrt{3}$ である。$\beta$ の法線ベクトルは $(1,1,1)$、$xy$ 平面の法線ベクトルは $(0,0,1)$ である。したがって二平面のなす角 $\theta$ について

である。

(3)

平面 $\alpha$ の法線ベクトルを $(u,v,w)$ とする。$\alpha$ は点 $P$ と点 $A=(\sqrt{3}/2,0,0)$ を通るので、同じ平面の方程式に代入して $\frac{u+v+w}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}u$ である。よって $v+w=\frac{1}{2}u$ を得る。

接線 $l$ は、平面 $\alpha$ と接平面 $\beta$ の交線である。したがってその方向ベクトルは、$(u,v,w)$ と $(1,1,1)$ の両方に垂直な $\vec{d}=(v-w,w-u,u-v)$ に平行である。

直線 $l$ と $xy$ 平面とのなす角が (2) の $\theta$ であるから、$\vec{d}=(d_1,d_2,d_3)$ とすると $\frac{\sqrt{d_1^2+d_2^2}}{\sqrt{d_1^2+d_2^2+d_3^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ である。これを二乗して $2(d_1^2+d_2^2)=d_3^2$ となる。

ここで $v+w=u/2$ より $u=2v+2w$ である。したがって $\vec{d}=(v-w,-2v-w,v+2w)$ となる。角の条件へ代入すると $2\{(v-w{)}^2+(-2v-w{)}^2\}=(v+2w{)}^2$ であり、整理して $9v^2=0$ を得る。よって $v=0$ である。さらに $v+w=u/2$ から $u=2w$ で、$w=0$ なら法線ベクトルが零ベクトルになるため $w\ne 0$ である。

したがって $\alpha$ の法線は $(2,0,1)$ に平行である。点 $P$ を通るので $2x+z=2\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$ である。よって求める平面は $\boxed{2x+z=\sqrt{3}}$ である。