九州大学 1996年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

$T$ を正の定数とする． $0 ≦ t$ で定義された連続関数 $y (t)$ は， $k = 0, 1, 2, \dots\dots$ に対し

k T < t < (k + \frac{1}{2}) T のとき, \frac{d y}{d t} + y = 1

(k + \frac{1}{2}) T < t < (k + 1) T のとき, \frac{d y}{d t} + y = 0

のように交互に2つの微分方程式を満たす．

y (k T) = t \to k T - 0 lim y (t) = t \to k T + 0 lim y (t)

y ((k + \frac{1}{2}) T) = t \to (k + \frac{1}{2}) T - 0 lim y (t) = t \to (k + \frac{1}{2}) T + 0 lim y (t)

を考慮して，以下の問に答えよ．

(1) $y (k T)$ と $y ((k + \frac{1}{2}) T)$ の間の関係式および $y ((k + \frac{1}{2}) T)$ と $y ((k + 1) T)$ の間の関係式を求めよ．

(2) $y (k T)$ と $y ((k + 1) T)$ の間の関係式を導き， $y (0) = 0$ としたときの $y (k T)$ を $k$ と $T$ を用いて表せ．

(3) 極限値 $k \to \infty lim y (k T)$ を求めよ．

出典：九州大学 1996年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

各半周期で一次微分方程式を解き、連続条件によって端点値だけの関係式にする。 $q = e^{- T /2}$ と置くと、 $y ((k + 1) T) = q^{2} y (k T) + q - q^{2}$ という一次漸化式になる。初期値 $y (0) = 0$ から等比数列の和で明示式を出し、最後は $0 < q < 1$ を用いて極限を取る。

解答

(1)

$q = e^{- T /2}$ とおく。

まず $k T < t < (k + 1/2) T$ では $\frac{d y}{d t} + y = 1$ である。これは $y (t) = 1 + C e^{- t}$ の形であり、 $t = k T$ で $y (k T)$ をとるように書けば $y (t) = 1 + {y (k T) - 1} e^{- (t - k T)}$ である。したがって $y ((k + \frac{1}{2}) T) = 1 + {y (k T) - 1} q$ である。

次に $(k + 1/2) T < t < (k + 1) T$ では $\frac{d y}{d t} + y = 0$ であるから $y (t) = y ((k + \frac{1}{2}) T) e^{- {t - (k + 1/2) T}}$ となる。よって $y ((k + 1) T) = q y ((k + \frac{1}{2}) T)$ である。

(2)

(1) の二つの式をつなげると $y ((k + 1) T) = q [1 + {y (k T) - 1} q]$ である。したがって $y ((k + 1) T) = q^{2} y (k T) + q - q^{2}$ となる。 $Y_{k} = y (k T)$ と書くと $Y_{k + 1} = q^{2} Y_{k} + q - q^{2}$ である。 $Y_{0} = y (0) = 0$ なので、これを繰り返して $Y_{k} = (q - q^{2}) (1 + q^{2} + q^{4} + \dots + q^{2 (k - 1)})$ となる。 $0 < q < 1$ だから $Y_{k} = (q - q^{2}) \frac{1 - q ^{2 k}}{1 - q ^{2}} = \frac{q}{1 + q} (1 - q^{2 k})$ である。 $q = e^{- T /2}$ に戻すと $y (k T) = \frac{e ^{- T /2}}{1 + e ^{- T /2}} {1 - e^{- k T}}$ である。

(3)

$T > 0$ なので $0 < e^{- T} < 1$ であり、 $k \to \infty$ のとき $e^{- k T} \to 0$ である。したがって

k \to \infty lim y (k T) = \frac{e ^{- T /2}}{1 + e ^{- T /2}} = \frac{1}{e ^{T /2} + 1}

である。

別解。(2) の漸化式 $Y_{k + 1} = q^{2} Y_{k} + q - q^{2}$ の極限を $L$ とおくと、収束するなら $L = q^{2} L + q - q^{2}$ を満たす。 $0 < q^{2} < 1$ なので実際に収束し、 $L = \frac{q - q ^{2}}{1 - q ^{2}} = \frac{q}{1 + q} = \frac{1}{e ^{T /2} + 1}$ と直接求められる。

九州大学 1996年度後期・理系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 1996年度
後期・理系数学後期第4問