九州大学 1996年度
後期・理系数学 後期 第1問

解答

(1)

曲線 $y=x^2$ の点 $P(t,t^2)$ における接線の傾きは $2t$ である。$t>0$ なので法線 $h$ の傾きは $-1/(2t)$ であり、$y-t^2=-\frac{1}{2t}(x-t)$ である。

次に $Q(s,s^2)$ とする。線分 $PQ$ の中点は $\left(\frac{s+t}{2},\frac{s^2+t^2}{2}\right)$ であり、直線 $PQ$ の傾きは $\frac{s^2-t^2}{s-t}=s+t$ である。したがって垂直二等分線 $l$ は $y-\frac{s^2+t^2}{2}=-\frac{1}{s+t}\left(x-\frac{s+t}{2}\right)$ である。

この二直線を連立して交点 $R$ を求めると

である。$s\to t$ とすると $\boxed{R_0\left(-4t^3,3t^2+\frac{1}{2}\right)}$ を得る。

(2)

円 $K$ の中心は $R_0$ で、半径は $R_{0}P$ である。放物線上の点を $(x,x^2)$ とおくと、円 $K$ 上にある条件は

である。右辺は点 $P$ での半径の二乗である。

この式を整理すると $(x-t{)}^3(x+3t)=0$ となる。$x=t$ は接点 $P$ に対応するので、$P$ 以外の共有点は $x=-3t$ である。したがって $\boxed{P^{\prime }(-3t,9t^2)}$ である。

(3)

直線 $P{P}^{\prime }$ の傾きは $\frac{9t^2-t^2}{-3t-t}=-2t$ である。一方、点 $P$ における法線の傾きは $-1/(2t)$ である。3点 $P,R_0,P^{\prime }$ が同一直線上にあるためには $-2t=-\frac{1}{2t}$ でなければならない。$t>0$ だから $\boxed{t=\frac{1}{2}}$ である。

このとき

である。円の半径は $R_{0}P=\sqrt{1^2+(-1{)}^2}=\sqrt{2}$ であり、円の方程式は ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{5}{4}\right)}^2=2$ である。

求める部分は、円の内部で放物線 $y=x^2$ の下側にある部分である。$x=-1/2-\sqrt{2}$ から $x=-3/2$ までは円の縦の切り口全体が放物線の下側にあり、$x=-3/2$ から $x=1/2$ までは下の円弧から放物線までが該当する。したがって面積は ${\int }_{-1/2-\sqrt{2}}^{-3/2}2\sqrt{2-{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2}dx$

である。 $u=x+1/2$ とおく。公式 $\int \sqrt{2-u^2}du=\frac{u}{2}\sqrt{2-u^2}+\arcsin \frac{u}{\sqrt{2}}$ を用いると ${\int }_{-\sqrt{2}}^{-1}2\sqrt{2-u^2}du=\frac{\pi }{2}-1$ であり、また ${\int }_{-3/2}^{1/2}\left(x^2-\frac{5}{4}\right)dx=-\frac{4}{3}$ ${\int }_{-1}^1\sqrt{2-u^2}du=1+\frac{\pi }{2}$ である。よって面積は

である。