九州大学 1996年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

$θ$ $(- \frac{π}{3} ≦ θ ≦ \frac{π}{3})$ を媒介変数として

x = a cos 2 θ, y = b sin 3 θ

で表される曲線 $C$ がある．ただし， $a$ ， $b$ はともに正の定数である．

(1) 曲線 $C$ で囲まれる部分の面積 $S$ を求めよ．

(2) 曲線 $C$ 上の点で $F = x + y$ を最大とする $θ$ を $θ_{0}$ とする． $sin θ_{0}$ を $a$ と $b$ を用いて表せ．

出典：九州大学 1996年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

(1) は媒介変数表示の面積を $- \int y d x$ で計算する。曲線の向きを確認し、 $d x / d θ = - 2 a sin 2 θ$ を代入して三角関数の積の積分に直す。(2) は $s = sin θ$ と置いて $F$ を三次式にし、導関数の正の解が最大点になることを端点との比較も含めて確認する。

解答

(1)

媒介変数表示は $x = a cos 2 θ, y = b sin 3 θ$ である。したがって $\frac{d x}{d θ} = - 2 a sin 2 θ$ である。 $θ = - π /3$ と $θ = π /3$ ではどちらも $x = - a /2, y = 0$ となり、曲線は閉じている。 $- π /3 < θ < 0$ では $y < 0$ 、 $0 < θ < π /3$ では $y > 0$ で、面積は $S = - \int_{- π /3}^{π /3} y \frac{d x}{d θ} d θ$ で与えられる。よって $S = 2 ab \int_{- π /3}^{π /3} sin 3 θ sin 2 θ d θ$ である。

積和の公式より $sin 3 θ sin 2 θ = \frac{1}{2} (cos θ - cos 5 θ)$ なので

\int_{- π /3}^{π /3} sin 3 θ sin 2 θ d θ = [sin θ - \frac{1}{5} sin 5 θ]_{0}^{π /3}

である。ここで $sin (π /3) = 3 /2$ 、 $sin (5 π /3) = - 3 /2$ だから

\int_{- π /3}^{π /3} sin 3 θ sin 2 θ d θ = \frac{3 3}{5}

である。したがって $S = \frac{6 3}{5} ab$ である。

(2)

曲線上で $F = x + y = a cos 2 θ + b sin 3 θ$ である。 $s = sin θ$ とおくと、 $- 3 /2 ≦ s ≦ 3 /2$ であり、 $cos 2 θ = 1 - 2 s^{2}, sin 3 θ = 3 s - 4 s^{3}$ だから $F = a (1 - 2 s^{2}) + b (3 s - 4 s^{3})$ である。

これを $s$ で微分すると $\frac{d F}{d s} = - 4 a s + 3 b - 12 b s^{2}$ である。臨界点は $12 b s^{2} + 4 a s - 3 b = 0$ の解であり、 $s = \frac{- a \pm a ^{2} + 9 b ^{2}}{6 b}$ である。正の解を $s_{0} = \frac{a ^{2} + 9 b ^{2} - a}{6 b}$ とする。 $F^{'} (0) = 3 b > 0$ であり、 $F^{'} (3 /2) = - 23 a - 6 b < 0$ なので、正の解 $s_{0}$ は範囲内にあり、そこで増加から減少に変わる。端点では $F = - a /2$ である一方、 $F (0) = a$ なので、最大点はこの正の解で与えられる。したがって $sin θ_{0} = \frac{a ^{2} + 9 b ^{2} - a}{6 b}$ である。

九州大学 1996年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 1996年度
後期・理系数学後期第3問