九州大学 1996年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

次の行列 $A$ で表される1次変換によって．点 $O$ を原点とする座標平面上の点 $P (1, 1)$ が点 $Q$ に移されたとする．

A = (a cos θ b sin θ - a sin θ b cos θ)

ただし， $θ$ は実数で， $a$ ， $b$ はともに正の定数である．

(1) 点 $O$ ， $P$ ， $Q$ が同一直線上にあるとき，線分 $O Q$ の長さを $a$ と $b$ を用いて表せ．

(2) 3点 $O$ ， $P$ ， $Q$ が三角形をなすとき，その面積を $S$ とする． $a = \frac{3 + 1}{2}$ ， $b = \frac{3 - 1}{2}$ のとき，面積 $S$ を $θ$ の関数とみてその最大値を求めよ．

出典：九州大学 1996年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

点 $P (1, 1)$ の像 $Q$ を成分で表す。(1) は $O, P, Q$ が同一直線上、つまり $Q$ が直線 $y = x$ 上にある条件を使い、 $(cos θ - sin θ)^{2} + (sin θ + cos θ)^{2} = 2$ と合わせて $O Q$ を出す。(2) は面積を行列式 $\frac{1}{2} ∣ Q_{y} - Q_{x} ∣$ に直し、三角関数の合成で最大を求める。

解答

(1)

点 $P (1, 1)$ は、行列 $A$ によって $Q = (a cos θ - a sin θ, b sin θ + b cos θ)$ へ移される。すなわち $Q = (a (cos θ - sin θ), b (sin θ + cos θ))$ である。

3点 $O, P, Q$ が同一直線上にあるとき、 $P$ は直線 $y = x$ 上にあるので、 $Q$ も直線 $y = x$ 上にある。したがって $a (cos θ - sin θ) = b (sin θ + cos θ)$ である。

ここで $X = cos θ - sin θ, Y = sin θ + cos θ$ とおくと $X^{2} + Y^{2} = 2$ であり、同一直線条件は $a X = bY$ である。よって $X = bY / a$ として $\frac{b ^{2}}{a ^{2}} Y^{2} + Y^{2} = 2$ より $Y^{2} = \frac{2 a ^{2}}{a ^{2} + b ^{2}}$ である。

このとき $Q = (bY, bY)$ だから

O Q = (bY)^{2} + (bY)^{2} = 2 ∣ bY ∣ = \frac{2 ab}{a ^{2} + b ^{2}}

である。

(2)

三角形 $O P Q$ の面積は $S = \frac{1}{2} ∣1 \cdot Q_{y} - 1 \cdot Q_{x} ∣ = \frac{1}{2} ∣ Q_{y} - Q_{x} ∣$ である。ここで $a = \frac{3 + 1}{2}, b = \frac{3 - 1}{2}$ だから $a + b = 3, b - a = - 1$ である。したがって $Q_{y} - Q_{x} = b (sin θ + cos θ) - a (cos θ - sin θ)$ $= (a + b) sin θ + (b - a) cos θ = 3 sin θ - cos θ$ である。よって

S = \frac{1}{2} ∣ 3 sin θ - cos θ ∣ = sin (θ - \frac{π}{6})

となる。 $θ$ は実数全体を動くので、 $∣ sin (θ - π /6) ∣$ の最大値は $1$ である。したがって $S_{m a x} = 1$ である。

九州大学 1996年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 1996年度
後期・理系数学後期第2問