問題
図のように，上部のみが開いている高さ，幅，奥行1の直方体容器が水平な台の上に置かれていて，中に水が一杯満たしてある．図のを軸にして容器をゆっくり回転させ，水を容器の外に流出させる．台と容器の底面とのなす角をとする．
(1) 容器に残っている水の体積を，，を用いて表せ．
(2) 時刻における角度が（は正の定数）で表されるとき，水の流出体積速度を求め，が最大となるときの値を，，を用いて表せ．
出典：九州大学 1995年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第4問
方針
奥行が1なので、側面の断面積をそのまま体積として扱う。容器を傾けると、水面は水平で、容器に固定した断面では傾き の直線になる。水面が右側の底まで届く前は流出部分が三角形、届いた後は残る水が三角形になるので、 を境に場合分けする。(2)は を用いて を計算し、境目で最大になることを確認する。
解答
(1)
容器の奥行は なので、側面から見た断面積がそのまま体積になる。容器を角 だけ傾けると、水面は水平のままであり、容器に固定した座標で見ると傾き の直線になる。
まず のときを考える。このとき流出した部分は、幅 、高さ の三角形である。したがって残っている水の体積は である。
次に のとき、水は容器の底側に三角形状に残る。高さは 、底辺は であるから である。
よって
である。
(2)
なので である。まず では だから である。
次に では だから である。
前半の式 は とともに増加し、後半の式 は とともに減少する。したがって最大は境目 のときに生じる。
このとき であるから、最大値は
である。