九州大学 1995年度
後期・理系数学 後期 第3問

解答

(1)

$g(a)={\int }_0^{1}x\{1-|x+a|\}dx$ である。$x+a$ の符号で場合分けする。

まず $a\geqq 0$ のときは、$0\leqq x\leqq 1$ で $x+a\geqq 0$ である。したがって $g(a)={\int }_0^{1}x(1-x-a)dx=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{a}{2}=\frac{1}{6}-\frac{a}{2}$ である。

次に $a\leqq -1$ のときは、$0\leqq x\leqq 1$ で $x+a\leqq 0$ である。したがって $g(a)={\int }_0^{1}x(1+x+a)dx=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{a}{2}=\frac{5}{6}+\frac{a}{2}$ である。

最後に $-1<a<0$ のときは、$x=-a$ で符号が変わる。よって $g(a)={\int }_0^{-a}x(1+x+a)dx+{\int }_{-a}^{1}x(1-x-a)dx$ である。計算すると $g(a)=\frac{a^3}{3}-\frac{a}{2}+\frac{1}{6}$ となる。

したがって

である。

(2)

$a\geqq 0$ では $g(a)=\frac{1}{6}-\frac{a}{2}\leqq \frac{1}{6}$ である。$a\leqq -1$ では $g(a)=\frac{5}{6}+\frac{a}{2}\leqq \frac{1}{3}$ である。 $-1<a<0$ では $g^{\prime }(a)=a^2-\frac{1}{2}$ である。したがってこの範囲内の増減は、$-1<a<-1/\sqrt{2}$ で増加、$-1/\sqrt{2}<a<0$ で減少である。よって中央範囲での最大は $a=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ のときである。

このとき $g\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{1+\sqrt{2}}{6}$ である。これは $1/3$ より大きいので、全体の最大値も $\frac{1+\sqrt{2}}{6}$ である。最大にする $a$ は $a=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ である。