九州大学 1995年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

$θ$ が $0 ≦ θ ≦ 2 π$ の範囲を動くとき

(x y) = \frac{1}{2} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} (2 cos θ sin θ)

を満たす点 $(x, y)$ がえがく曲線を $C$ とし，

(x y) = - \frac{1}{2} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (2 cos θ sin θ)

を満たす点 $(x, y)$ がえがく曲線を $C^{'}$ とする．

(1) 曲線 $C$ と曲線 $C^{'}$ の概形をかけ．

(2) 曲線 $C$ で囲まれた図形と $C^{'}$ で囲まれた図形との共通部分を直線 $y = x$ のまわりに回転させてできる立体の体積を求めよ．

出典：九州大学 1995年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

回転軸である直線 $y = x$ に沿う座標 $u = (x + y) / 2$ と、それに垂直な座標 $v = (- x + y) / 2$ に直す。すると2曲線は、長軸の向きが入れ替わった2つの楕円 $u^{2} /4 + v^{2} = 1$ 、 $u^{2} + v^{2} /4 = 1$ になる。共通部分を $u$ 軸のまわりに回転するので、各 $u$ での半径の2乗は2つの上端の小さい方で決まる。

解答

(1)

直線 $y = x$ 方向の座標を $u = \frac{x + y}{2}$ とし、それに垂直な方向の座標を $v = \frac{- x + y}{2}$ とする。

最初の曲線 $C$ については、この座標で $u = 2 cos θ, v = sin θ$ となる。したがって $\frac{u ^{2}}{4} + v^{2} = 1$ である。これは直線 $y = x$ 方向に長い楕円である。

次の曲線 $C^{'}$ については $u = - sin θ, v = 2 cos θ$ となる。したがって $u^{2} + \frac{v ^{2}}{4} = 1$ である。これは直線 $y = x$ に垂直な方向に長い楕円である。

(2)

直線 $y = x$ は $u$ 軸である。よって共通部分をこの直線のまわりに回転すると、 $u$ ごとの断面は円になる。

曲線 $C$ の内部では $v^{2} ≦ 1 - \frac{u ^{2}}{4}$ であり、曲線 $C^{'}$ の内部では $v^{2} ≦ 4 (1 - u^{2})$ である。共通部分では、この2つの小さい方が回転半径の2乗になる。

2つの上端が等しくなるのは $1 - \frac{u ^{2}}{4} = 4 (1 - u^{2})$ のときであり、整理して $u^{2} = \frac{4}{5}$ である。 $∣ u ∣ ≦ 2/ 5$ では $1 - u^{2} /4$ の方が小さく、 $2/ 5 ≦ ∣ u ∣ ≦ 1$ では $4 (1 - u^{2})$ の方が小さい。

したがって体積は

V = π \int_{- 2/ 5}^{2/ 5} (1 - \frac{u ^{2}}{4}) d u + 2 π \int_{2/ 5}^{1} 4 (1 - u^{2}) d u

である。計算すると

\int_{- 2/ 5}^{2/ 5} (1 - \frac{u ^{2}}{4}) d u = \frac{28}{15 5}

であり、 $2 \int_{2/ 5}^{1} 4 (1 - u^{2}) d u = \frac{16}{3} - \frac{224}{15 5}$ である。よって

V = π (\frac{16}{3} - \frac{196}{15 5}) = \frac{8 π ( 10 - 3 5 )}{15}

である。

九州大学 1995年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 1995年度
後期・理系数学後期第2問