九州大学 1995年度
後期・理系数学 後期 第1問

解答

(1)

接点を $X=(x,y,z)$ とする。球面は原点中心、半径1であるから $|X|=1$ である。また、接線 $AX$ は半径 $OX$ と垂直である。したがって $(A-X)\cdot X=0$ である。

これを展開すると $A\cdot X-X\cdot X=0$ であり、$|X|=1$ より $A\cdot X=1$ となる。$A=(a,b,c)$ だから、接点はすべて平面 $ax+by+cz=1$ 上にある。よって $H:ax+by+cz=1$ である。

(2)

$r=OA$ とする。点 $A$ は球面の外側にあるので $r>1$ である。平面 $H$ と原点との距離は $\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{1}{r}$ である。したがって、原点を含まない側の球冠の高さは $1-\frac{1}{r}$ である。

半径1の球で、高さ $h$ の球冠の体積は $\frac{\pi h^2(3-h)}{3}$ である。ここで $h=1-1/r$ とすれば $V_1=\frac{\pi }{3}{\left(1-\frac{1}{r}\right)}^2\left(2+\frac{1}{r}\right)$ である。

次に円錐の体積を求める。平面 $H$ と球面の交わりは円であり、その半径は $\sqrt{1-\frac{1}{r^2}}$ である。また、円錐の頂点は $A$、底面は平面 $H$ 上のこの円であるから、高さは $r-\frac{1}{r}$ である。よって $V_2=\frac{\pi }{3}\left(1-\frac{1}{r^2}\right)\left(r-\frac{1}{r}\right)$ である。

したがって

である。よって ${\lim }_{r\to 1}\frac{V_1}{V_2}=\frac{3}{4}$ である。

別解。最後の極限だけなら、高さ $h=1-1/r$ を用いて近い形で比べてもよい。$r\to 1$ のとき、球冠の体積は $V_1=\frac{\pi h^2(3-h)}{3}$ であり、円錐は底面半径の2乗が $1-1/r^2$、高さが $r-1/r$ である。これらを $h$ で表すと、どちらも $h^2$ の大きさになり、係数の比が $3/4$ になる。厳密には上の式 $(2r+1)/(r+1{)}^2$ に戻せばよい。