問題
半径がの円筒形の容器が軸を垂直にして置かれており，の上面からは水が流入し，の底面からは水が流出しているとする．その流入速度は一定値であるが，流出速度はにたまった水の深さに比例（比例定数）しているものとする．
(1) 時刻における水の深さをとするとき，の関数はいかなる微分方程式を満たすか．
(2) としたとき，水がの上面からあふれださないためには，の高さがどれくらいあればよいか．
出典：九州大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第4問
方針
水量を と表し、その時間変化を「流入速度 から流出速度 を引いたもの」として微分方程式を立てる。(2)では初期条件 を用いて一次微分方程式を解き、深さが単調に に近づくことを確認する。有限時刻では 未満で、限界値が なので、容器の高さは少なくとも 必要である。
解答
(1)
時刻 における水の深さが であるから、容器内の水量は である。単位時間あたりの流入量は 、流出量は水の深さに比例して である。したがって水量の増加速度は である。
よって であり、求める微分方程式は である。
(2)
(1)の式を と書く。定数解は であるから とおくと となる。したがって である。
初期条件 より であるから である。
ここで では であり、 が大きくなると である。したがって水があふれださないためには、容器の高さが 以上あればよい。最小限の高さは である。