九州大学 1994年度
後期・理系数学 後期 第1問

解答

(1)

曲線 $C$ 上の点は $(x,y)=(x,x^3+a{x}^2+bx+c)$ と表される。変換後の第1座標は $x^{\prime }=\alpha x+\beta y=\alpha x+\beta (x^3+a{x}^2+bx+c)$ である。

もし $\beta \ne 0$ なら、$|x|$ が大きいとき $x^{\prime }$ は $x^3$ 程度の大きさになる。一方、第2座標 $y^{\prime }=\gamma x+\delta y$ は高くても $x^3$ 程度である。同じ3次関数のグラフ上にあるなら $y^{\prime }=(x^{\prime }{)}^3+a(x^{\prime }{)}^2+b{x}^{\prime }+c$ を満たす必要があるが、右辺は $(x^{\prime }{)}^3$ により $x^9$ 程度になってしまい、左辺と次数が合わない。したがって $\beta =0$ である。

このとき $x^{\prime }=\alpha x$ である。変換後の点全体が同じ曲線上を動くので、$\alpha =0$ はありえない。また、恒等変換ではないため、あとで $\alpha =1$ は除く。

曲線上の任意の $x$ について

が成り立つ。係数を比較すると $\delta ={\alpha }^3,$ $a\delta =a{\alpha }^2,$ $\gamma +b\delta =b\alpha ,$ $c\delta =c$ である。$\delta ={\alpha }^3$ を代入すると $a{\alpha }^3=a{\alpha }^2,c{\alpha }^3=c.$ $\alpha \ne 0$、$\alpha \ne 1$ であるから $a=0,c=0$ を得る。また $\gamma +b{\alpha }^3=b\alpha$ より $\gamma =b\alpha (1-{\alpha }^2)$ である。

したがって必要な形は $y=x^3+bx$ であり、変換は $x^{\prime }=\alpha x,y^{\prime }=b\alpha (1-{\alpha }^2)x+{\alpha }^{3}y$ である。ただし $\alpha \ne 0,\alpha \ne 1$ で、$b$ は任意の実数である。

逆に、この形であれば $y=x^3+bx$ を満たす点に対して $y^{\prime }=b\alpha (1-{\alpha }^2)x+{\alpha }^3(x^3+bx)={\alpha }^3{x}^3+b\alpha x$ であり、$x^{\prime }=\alpha x$ だから $y^{\prime }=(x^{\prime }{)}^3+b{x}^{\prime }$ となる。よってこの条件で十分でもある。

(2)

(1)より考える3次関数は $y=x^3+bx$ である。微分すると $y^{\prime }=3x^2+b$ であるから、極値をもつには $b<0$ が必要である。このとき $3x^2+b=0$ より $x=\pm \sqrt{-\frac{b}{3}}$ である。$y^{\prime \prime }=6x$ なので、極大となるのは $x_0=-\sqrt{-\frac{b}{3}}$ の方である。 $s=\sqrt{-b/3}$ とおくと $s>0$、$b=-3s^2$、$x_0=-s$ である。このとき $y_0=(-s{)}^3+(-3s^2)(-s)=-s^3+3s^3=2s^3.$ 一方、$x_0=-s$ だから $-2x_0^3=-2(-s{)}^3=2s^3.$ したがって $y_0=-2x_0^3,x_0<0$ である。

よって、点 $(x_0,y_0)$ 全体は曲線 $y=-2x^3$ のうち $x<0$ の部分上にある。