九州大学 1994年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

$a$ ， $b$ をある実数とし，

I = \int_{a}^{b} e^{- x} sin x d x, J = \int_{a}^{b} e^{- x} cos x d x

とする．

(1) 2つの等式

I - J = e^{- a} sin a - e^{- b} sin b, I + J = e^{- a} cos a - e^{- b} cos b

が成り立つことを示せ．

(2) $n$ を正の整数とし，区間 $[(n - 1) π, nπ]$ において，関数 $y = e^{- x} sin x$ のグラフと $x$ 軸とで囲まれた部分の面積 $A_{n}$ を求めよ．

(3) $A_{n}$ $(n = 1, 2, \dots\dots)$ の総和 $S = n = 1 \sum \infty A_{n}$ を求めよ．

出典：九州大学 1994年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

(1)は $e^{- x} sin x$ と $e^{- x} cos x$ を微分し、 $I - J$ 、 $I + J$ の形に合わせる。(2)では各区間で $sin x$ の符号が一定なので、符号を見て絶対値つきの積分にする。原始関数で直接計算してもよいし、(1)の等式に端点を代入して $I$ を求めてもよい。(3)は $A_{n}$ が公比 $e^{- π}$ の等比数列になることを確認して和を取る。

解答

(1)

まず

\frac{d}{d x} (e^{- x} sin x) = e^{- x} cos x - e^{- x} sin x = e^{- x} (cos x - sin x)

である。したがって

I - J = \int_{a}^{b} e^{- x} (sin x - cos x) d x = - \int_{a}^{b} \frac{d}{d x} (e^{- x} sin x) d x

であるから $I - J = e^{- a} sin a - e^{- b} sin b .$ また

\frac{d}{d x} (e^{- x} cos x) = - e^{- x} cos x - e^{- x} sin x = - e^{- x} (sin x + cos x)

である。よって

I + J = \int_{a}^{b} e^{- x} (sin x + cos x) d x = - \int_{a}^{b} \frac{d}{d x} (e^{- x} cos x) d x

となり $I + J = e^{- a} cos a - e^{- b} cos b$ を得る。

(2)

区間 $[(n - 1) π, nπ]$ では $sin x$ の符号は一定である。したがって面積は $A_{n} = \int_{(n - 1) π}^{nπ} e^{- x} sin x d x$ である。

原始関数は $\int e^{- x} sin x d x = - \frac{1}{2} e^{- x} (sin x + cos x)$ である。よって

\int_{(n - 1) π}^{nπ} e^{- x} sin x d x = \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{2} (e^{- nπ} + e^{- (n - 1) π})

となる。絶対値を取れば

A_{n} = \frac{1}{2} (e^{- nπ} + e^{- (n - 1) π}) = \frac{1 + e ^{π}}{2} e^{- nπ} .

(3)

(2)より $A_{n} = \frac{1 + e ^{π}}{2} e^{- nπ}$ である。したがって

S = n = 1 \sum \infty A_{n} = \frac{1 + e ^{π}}{2} n = 1 \sum \infty e^{- nπ} .

ここで $0 < e^{- π} < 1$ なので $\sum_{n = 1}^{\infty} e^{- nπ} = \frac{e ^{- π}}{1 - e ^{- π}} .$ よって

S = \frac{1 + e ^{π}}{2} \cdot \frac{e ^{- π}}{1 - e ^{- π}} = \frac{1 + e ^{- π}}{2 ( 1 - e ^{- π} )} .

別解。(2)の積分は(1)を使うと、原始関数を別に求めずに出せる。 $a = (n - 1) π$ 、 $b = nπ$ とすると、端点では $sin a = sin b = 0$ であるから、(1)の第1式より $I - J = 0, I = J$ である。また第2式より $I + J = e^{- (n - 1) π} cos ((n - 1) π) - e^{- nπ} cos (nπ)$ である。すなわち

2 I = (- 1)^{n - 1} e^{- (n - 1) π} - (- 1)^{n} e^{- nπ} = (- 1)^{n - 1} (e^{- (n - 1) π} + e^{- nπ}) .

したがって $∣ I ∣ = \frac{1}{2} (e^{- (n - 1) π} + e^{- nπ})$ となり、同じ $A_{n}$ が得られる。

九州大学 1994年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 1994年度
後期・理系数学後期第3問