問題
右図のように，平面上で，原点を中心とする．長軸の長さが6，短軸の長さが2の楕円，およびの上端に接する軸に平行な直線を考える．そしてはのまわりに一定の角速度で回転しているとし，はの回転にともなって上下運動をしているものとする．
(1) の長軸と軸のなす角がのとき，の高さをの関数で表せ．
(2) の上下する速さが最大になるときのを求めよ．
方針
長半径3、短半径1の楕円上の点を、長軸方向成分 と短軸方向成分 で表す。回転後の 座標は なので、 のもとでこの一次式の最大値を求めれば直線 の高さになる。(2)は角速度が一定であるため、上下速度の最大は の最大と同じである。 と置いて2次式型の最大問題に直す。別解として、回転した楕円の方程式に水平接線を持たせ、判別式を0にする方法でも高さを求められる。
解答
(1)
楕円の長半径は 、短半径は である。長軸方向の座標を 、短軸方向の座標を とすると、楕円は で表される。
長軸が 軸となす角を とすると、長軸方向の単位ベクトルの 成分は 、短軸方向の単位ベクトルの 成分は である。したがって点の 座標は である。 、 とおくと であり、 である。円 上で一次式 の最大値は、係数の長さに等しいので
である。
したがって、 の高さは である。
(2)
楕円は一定の角速度で回転するので、上下する速さは に比例する。よって を最大にすればよい。
(1)より であるから したがって とおくと であり、最大にすべき式は である。定数 を除き とおく。
微分すると
よって は すなわち である。 より で最大となる。したがって である。
長軸の向きを で表すなら である。 で向きを区別して書くなら、これに も加わる。
別解。(1)の高さは、回転後の楕円の方程式からも求められる。回転前の長軸・短軸方向の座標は なので、楕円は である。水平線 が上端で接するためには、この式を の2次方程式と見たとき重解をもてばよい。判別式を0にして整理すると となり、同じ高さの式が得られる。