九州大学 1994年度
文系数学 第4問

解答

(1)

上を $U$、下を $D$ と書く。太郎君が勝つとき、最後の試行は4回目の $U$ である。その直前までに出た $D$ の回数を $j$ とすると、負けが先に決まらないためには $j=0,1,2$ であればよい。最後を除く $3+j$ 回の中に $D$ が $j$ 回あるので、その並べ方は ${}_{3+j}{\mathrm{C}}_j$ 通りである。

したがって勝つ確率は

である。各項を計算すると

$=\frac{16}{81}+\frac{64}{243}+\frac{160}{729}=\frac{496}{729}.$ (2)

5回目で太郎君が勝つには、最初の4回に $U$ が3回、$D$ が1回出て、5回目に $U$ が出ればよい。よってその確率は

5回目で太郎君が負けるには、最初の4回に $D$ が2回、$U$ が2回出て、5回目に $D$ が出ればよい。よってその確率は

したがって、5回目で勝負が決まったという条件のもとで太郎君が勝った確率は

(3)

勝つ場合を、最後の $U$ の前に出た $D$ の回数 $j$ で分ける。終了時には $U$ が4回、$D$ が $j$ 回なので、得点は $4-j$ である。したがって勝って終わる場合からの平均得点への寄与は

である。

負ける場合を、最後の $D$ の前に出た $U$ の回数 $i$ で分ける。このとき最後の前には $D$ が2回出ているので、並べ方は ${}_{2+i}{\mathrm{C}}_i$ 通りであり、終了時の得点は $i-3$ である。よって負けて終わる場合からの寄与は

である。

以上より平均得点は

である。これを計算すると、勝ち側は

であり、負け側は

である。したがって平均得点は $\frac{1468}{729}-\frac{257}{729}=\frac{1211}{729}.$ 別解。平均得点だけを求めるなら、状態ごとの期待値を使ってもよい。$E_{u,d}$ を、上がすでに $u$ 回、下がすでに $d$ 回出ている状態から最終得点の期待値とする。境界条件は $E_{4,d}=4-d(d=0,1,2),E_{u,3}=u-3(u=0,1,2,3)$ であり、途中の状態では $E_{u,d}=\frac{2}{3}{E}_{u+1,d}+\frac{1}{3}{E}_{u,d+1}$ である。終端に近いところから順に代入すると

開始時は $(u,d)=(0,0)$ なので、平均得点は同じく $\frac{1211}{729}$ である。