九州大学 1994年度文系数学第3問解答・解説

問題

座標平面上に3点 $O (0, 0)$ ， $A (1, 0)$ ， $B (0, 1)$ をとり， $△ O A B$ を放物線 $y = k x^{2}$ $(k > 0)$ で2つの部分 $S$ ， $T$ にわける．ただし， $S$ は放物線の下にある部分とする．次の問に答えよ．

(1) 線分 $A B$ と放物線の交点の $x$ 座標を $α$ として， $S$ の面積を $α$ のみを用いて表せ．

(2) $S$ と $T$ の面積が等しくなる $k$ の値を求めよ．

出典：九州大学 1994年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

交点の $x$ 座標を $α$ とし、線分 $A B$ の式 $y = 1 - x$ と放物線の交点条件から $k = (1 - α) / α^{2}$ を得る。三角形内で「放物線の下」となる部分は、 $0 ≦ x ≦ α$ では放物線の下、 $α ≦ x ≦ 1$ では線分 $A B$ の下全体であるため、面積を2つの積分に分ける。(2)では全体面積が $1/2$ であることから $S = 1/4$ とし、 $0 < α < 1$ によって解を選んでから $k$ に戻す。

解答

(1)

線分 $A B$ は $y = 1 - x$ である。放物線 $y = k x^{2}$ との交点の $x$ 座標を $α$ とすると $k α^{2} = 1 - α$ である。 $k > 0$ で、交点は三角形の内部の辺上にあるので $0 < α < 1, k = \frac{1 - α}{α ^{2}}$ である。 $0 ≦ x ≦ α$ では放物線が線分 $A B$ より下にあり、 $α ≦ x ≦ 1$ では線分 $A B$ が放物線より下にある。したがって、放物線の下にある部分 $S$ の面積は $S = \int_{0}^{α} k x^{2} d x + \int_{α}^{1} (1 - x) d x$ である。ここに $k = (1 - α) / α^{2}$ を代入すると

\int_{0}^{α} k x^{2} d x = \frac{k α ^{3}}{3} = \frac{α ( 1 - α )}{3}

であり、また

\int_{α}^{1} (1 - x) d x = [x - \frac{x ^{2}}{2}]_{α}^{1} = \frac{1}{2} - α + \frac{α ^{2}}{2}

である。よって

S = \frac{α ( 1 - α )}{3} + \frac{1}{2} - α + \frac{α ^{2}}{2} = \frac{α ^{2}}{6} - \frac{2 α}{3} + \frac{1}{2} .

(2)

$△ O A B$ の面積は $1/2$ である。 $S$ と $T$ の面積が等しい条件は $S = \frac{1}{4}$ であるから、(1)の結果より $\frac{α ^{2}}{6} - \frac{2 α}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} .$ 両辺に12を掛けると $2 α^{2} - 8 α + 3 = 0$ である。解の公式より $α = 2 \pm \frac{10}{2}$ であるが、 $0 < α < 1$ なので $α = 2 - \frac{10}{2}$ を選ぶ。

したがって

k = \frac{1 - α}{α ^{2}} = \frac{1 - ( 2 - \frac{10}{2} )}{( 2 - \frac{10}{2} ) ^{2}}

である。分母分子を整理すると

1 - α = \frac{10 - 2}{2}, α^{2} = \frac{13 - 4 10}{2}

より

k = \frac{10 - 2}{13 - 4 10} = \frac{( 10 - 2 ) ( 13 + 4 10 )}{9} = \frac{14 + 5 10}{9} .

よって求める値は $\frac{14 + 5 10}{9}$ である。

九州大学 1994年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 1994年度
文系数学第3問