九州大学 1994年度
文系数学 第2問

解答

(1)

与えられた変換は

である。成分で書くと $x^{\prime }=x+kx+ky=(1+k)x+ky,$ $y^{\prime }=y+mkx+mky=mkx+(1+mk)y.$ したがって、変換を表す行列は

である。

(2)

点 $(1,1)$ は $(1,1)+2k(1,m)$ に移る。$k$ が実数全体を動くので、これは点 $(1,1)$ を通り、方向ベクトル $(1,m)$ をもつ直線である。したがって、求める図形は $y-1=m(x-1)$ である。

(3)

$D_1$ の中心を $C_1=(1,1)$、目標の円板の中心を $C_2=(4,3)$ とする。$D_1$ 上の点 $(x,y)$ について $x+y\geqq 2-\sqrt{2}>0$ であるから、$k$ を動かすと $k(x+y)$ は任意の実数を取る。よって、各点 $(x,y)\in D_1$ は方向 $(1,m)$ の直線全体を動ける。

したがって、$k$ を適当に選んだときに変換後の $D_1$ が目標の円板と少なくとも1点を共有するための条件は、直線 $\ell :(1,1)+t(1,m)$ と点 $C_2=(4,3)$ との距離が、2つの半径の和 $2$ 以下であることである。 $C_2-C_1=(3,2)$ だから、点 $C_2$ と直線 $\ell$ との距離は $\frac{|2-3m|}{\sqrt{1+m^2}}$ である。したがって条件は $\frac{|2-3m|}{\sqrt{1+m^2}}\leqq 2$ であり、両辺は非負なので2乗してよい。 $(2-3m{)}^2\leqq 4(1+m^2)$ すなわち $4-12m+9m^2\leqq 4+4m^2,5m^2-12m\leqq 0.$ よって $m(5m-12)\leqq 0$ であるから $0\leqq m\leqq \frac{12}{5}$ を得る。

別解。距離公式を使わずに、直線 $(1,1)+t(1,m)$ 上の点と $(4,3)$ との距離の2乗を最小化してもよい。この距離の2乗は $(1+t-4{)}^2+(1+mt-3{)}^2=(t-3{)}^2+(mt-2{)}^2$ である。これを $t$ の2次式として整理すると $(1+m^2)t^2-2(3+2m)t+13$ となる。最小値は $13-\frac{(3+2m{)}^2}{1+m^2}=\frac{(2-3m{)}^2}{1+m^2}$ である。これが $2^2$ 以下である条件を解けば、同じく $0\leqq m\leqq \frac{12}{5}$ となる。