九州大学 1994年度文系数学第1問解答・解説

問題

以下の設問は $lo g_{10} 2$ の近似値に関するものである． $lo g_{10} 2 = 0.3010 \dots\dots$ を用いないで答えよ．

(1) 不等式 $\frac{3}{10} < lo g_{10} 2 < \frac{4}{13}$ を示せ．

(2) $a = \frac{1 - 3 lo g _{10} 2}{10 lo g _{10} 2 - 3}$ とおくとき， $b < a < b + 1$ となる整数 $b$ を下の表を用いて求めよ．

(3) 上の結果を用いて不等式 $\frac{31}{103} < lo g_{10} 2 < \frac{28}{93}$ を示せ．

出典：九州大学 1994年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

対数の大小を累乗の大小へ直して扱う。(1)では底が10で正なので、 $2^{10}$ と $1 0^{3}$ 、 $2^{13}$ と $1 0^{4}$ を比較すればよい。(2)では $x = lo g_{10} 2$ とおき、(1)で $10 x - 3 > 0$ を確認してから、 $9 < a < 10$ が表の累乗比較 $2^{93} < 1 0^{28}$ 、 $1 0^{31} < 2^{103}$ と同値であることを示す。(3)はその不等式を $x$ について解き直し、分母の符号で不等号の向きが変わらないことを明示して結論を得る。

解答

(1)

底が $10$ で $10 > 1$ であるから、対数の大小は累乗の大小に直してよい。 $2^{10} = 1024 > 1000 = 1 0^{3}$ より $10 lo g_{10} 2 > 3, \frac{3}{10} < lo g_{10} 2.$ また $2^{13} = 8192 < 10000 = 1 0^{4}$ より $13 lo g_{10} 2 < 4, lo g_{10} 2 < \frac{4}{13} .$ したがって $\frac{3}{10} < lo g_{10} 2 < \frac{4}{13}$ である。

(2)

$x = lo g_{10} 2$ とおく。(1)より $10 x - 3 > 0$ であるから、不等式を掛けても不等号の向きは変わらない。

まず $9 < a$ は $9 < \frac{1 - 3 x}{10 x - 3}$ と同じであり、これは $90 x - 27 < 1 - 3 x$ すなわち $93 x < 28$ と同値である。さらにこれは $lo g_{10} 2^{93} < 28, 2^{93} < 1 0^{28}$ と同値である。

同じく $a < 10$ は $\frac{1 - 3 x}{10 x - 3} < 10$ と同じであり、これは $1 - 3 x < 100 x - 30$ すなわち $31 < 103 x$ と同値である。さらにこれは $1 0^{31} < 2^{103}$ と同値である。

問題の表から $2^{93} < 1 0^{28}, 1 0^{31} < 2^{103}$ が読み取れるので、以上より $9 < a < 10$ である。したがって、 $b < a < b + 1$ を満たす整数は $b = 9$ である。

(3)

(2)で得た $9 < \frac{1 - 3 x}{10 x - 3} < 10$ を $x$ の不等式に戻す。ただし $10 x - 3 > 0$ である。

左側の不等式から $9 (10 x - 3) < 1 - 3 x$ であるから $90 x - 27 < 1 - 3 x, 93 x < 28, x < \frac{28}{93} .$ 右側の不等式から $1 - 3 x < 10 (10 x - 3)$ であるから $1 - 3 x < 100 x - 30, 31 < 103 x, \frac{31}{103} < x .$ よって $\frac{31}{103} < lo g_{10} 2 < \frac{28}{93}$ が示された。

九州大学 1994年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 1994年度
文系数学第1問