問題
動点は原点から出発して，時刻における座標はであるとする．また動点は時刻のとき点から出発して，点との距離を一定に保ちながら，常に点に向かって（すなわちの速度ベクトルがと平行であるように）進むとする．このとき次の問に答えよ．
(1) 点の時刻における座標をとすると，
が成り立つことを示せ．
(2) 点の座標がとなったときの座標を，座標がとなったときの座標をとする．点の描く曲線と軸，直線，および直線により囲まれる領域の面積を求めよ．
方針
距離 は初期値から常に1なので， が成り立つ。また の速度方向は に平行であるから，接線の傾きは になる。対象となる範囲では と取れるので，微分方程式が得られる。面積は に直して で積分し，最後の積分は により計算する。
解答
(1)
時刻 において である。距離 は一定で，初めに ， だからその距離は1である。したがって が成り立つ。
また， は常に に向かって進むので， の速度ベクトルは に平行である。したがって，曲線の接線の傾きは である。
問題で扱う点では は 軸より上にあり， は の右側にあるので である。距離条件から となる。よって が成り立つ。
(2)
(1)より， で である。 が から へ下がるにつれて は増えるので，求める面積は である。これを で積分すると
である。したがって となる。
ここで とおく。 のとき ， のとき であり， である。よって
である。さらに より
である。ここで なので，三角関数の項は打ち消し合う。したがって面積は である。
別解。最後の積分は，単位円 の右半分において， と に挟まれた部分の面積である。対応する中心角は から までで，端の直角三角形の面積が等しく打ち消し合うため，残る面積は扇形の差 である。