問題
中心がである半径1の球をとする．点および球上の点を考える．点を通りに垂直な平面で球を切ることにより得られる円をとする．点が円上にあるとき，直線が平面と交わる点をとする．このとき次の問に答えよ．
(1) ベクトルとの内積を計算せよ．
(2) 点の座標をとし，とするとき，を，を用いて表せ．
(3) 点が円上を動くときの点の軌跡の方程式を求めよ．
出典：九州大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
まず ， を成分で書き，内積を求める。円 は，球面と，点 を通り に垂直な平面 の交わりである。(2)では と のなす角として を計算する。(3)では が直線 上にあることから とおき，平面条件で を決め，球面条件に代入して の方程式を得る。
解答
(1)
であり， である。したがって
である。
(2)
だから である。また である。よって であり，
である。したがって である。
(3)
円 は，球 と，点 を通り に垂直な平面との交わりである。 の方向ベクトルは なので，その平面は すなわち である。
点 は直線 上にあるから，ある実数 を用いて と書ける。， より である。これが平面 上にあるので であり， となる。よって である。
これを球面の方程式に代入する。すなわち
である。分母を払うと となる。整理して を得る。平方完成すれば である。
この式を満たす点では となるので であり，上の から逆に円 上の点 が定まる。したがって求める軌跡は である。