九州大学 1993年度理系数学第1問解答・解説

問題

放物線の焦点を通る直線がこの放物線で切り取られてできる線分を考えるとき，それらの中点の軌跡はやはり放物線となる．次の問に答えよ．

(1) $p > 0$ とする．放物線 $y^{2} = 4 p x$ とその焦点 $F (p, 0)$ からこの方法で得られる放物線の式とその焦点を求めよ．

(2) 放物線 $P_{0} : y^{2} = 4 x$ からこの方法で得られる放物線を $P_{1}$ とする．さらに $P_{1}$ からこの方法で得られる放物線を $P_{2}$ とする．これを繰り返して得られる放物線 $P_{n}$ の式を求めよ．また $n \to \infty$ のとき，放物線 $P_{n}$ の焦点はどのような点に近づくか．

出典：九州大学 1993年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

まず $y^{2} = 4 p x$ の焦点 $F (p, 0)$ を通る直線を $y = m (x - p)$ とおき，放物線との2交点の $y$ 座標について2次方程式を作る。解と係数の関係から中点 $(X, Y)$ を $m$ で表し， $m$ を消去して中点の軌跡を求める。得られた放物線は頂点が $(p, 0)$ ，焦点距離が $p /2$ である。繰り返しでは，頂点位置 $h_{n}$ と焦点距離 $p_{n}$ の漸化式を読み取り，等比数列として解く。

解答

(1)

放物線 $y^{2} = 4 p x$ の焦点は $F (p, 0)$ である。焦点を通る直線を，まず傾き $m$ を用いて $y = m (x - p)$ とおく。ただし，垂直な直線の場合は後で得られる軌跡の端点として含まれる。

この直線上では $x = p + \frac{y}{m}$ である。これを $y^{2} = 4 p x$ に代入すると $y^{2} = 4 p (p + \frac{y}{m})$ すなわち $y^{2} - \frac{4 p}{m} y - 4 p^{2} = 0$ となる。2交点の $y$ 座標を $y_{1}, y_{2}$ とすると，解と係数の関係より $y_{1} + y_{2} = \frac{4 p}{m}, y_{1} y_{2} = - 4 p^{2}$ である。

2交点の中点を $(X, Y)$ とする。すると $Y = \frac{y _{1} + y _{2}}{2} = \frac{2 p}{m}$ である。また各交点の $x$ 座標は $p + \frac{y _{i}}{m}$ だから $X = p + \frac{y _{1} + y _{2}}{2 m} = p + \frac{2 p}{m ^{2}}$ である。ここで $Y = \frac{2 p}{m}$ より $X - p = \frac{Y ^{2}}{2 p}$ となる。したがって中点の軌跡は $Y^{2} = 2 p (X - p)$ である。通常の座標 $x, y$ で書けば $y^{2} = 2 p (x - p)$ である。

これは $y^{2} = 4 \cdot \frac{p}{2} (x - p)$ であるから，頂点は $(p, 0)$ ，焦点距離は $p /2$ である。よって焦点は $(p + \frac{p}{2}, 0) = (\frac{3 p}{2}, 0)$ である。

別解。放物線上の点を $(p s^{2}, 2 p s)$ ， $(p r^{2}, 2 p r)$ と表す。この2点を結ぶ直線が焦点 $F (p, 0)$ を通る条件は，3点の傾きを比べて $sr = - 1$ である。中点は $(\frac{p ( s ^{2} + r ^{2} )}{2}, p (s + r))$ であり， $r = - 1/ s$ を代入すると

Y^{2} = p^{2} (s - \frac{1}{s})^{2}, X - p = \frac{p}{2} (s - \frac{1}{s})^{2}

となる。よって同じく $Y^{2} = 2 p (X - p)$ を得る。

(2)

一般に，頂点が $(h_{n}, 0)$ ，焦点距離が $p_{n}$ の放物線を $y^{2} = 4 p_{n} (x - h_{n})$ と書く。(1)の結果を平行移動して用いると，次に得られる放物線は $y^{2} = 2 p_{n} {x - (h_{n} + p_{n})}$ である。したがって $p_{n + 1} = \frac{p _{n}}{2}, h_{n + 1} = h_{n} + p_{n}$ が成り立つ。

初めの放物線 $P_{0} : y^{2} = 4 x$ では $p_{0} = 1, h_{0} = 0$ である。よって $p_{n} = \frac{1}{2 ^{n}}$ であり，

h_{n} = p_{0} + p_{1} + \dots + p_{n - 1} = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2 ^{n - 1}} = 2 (1 - \frac{1}{2 ^{n}})

である。

したがって

P_{n} : y^{2} = \frac{4}{2 ^{n}} {x - 2 (1 - \frac{1}{2 ^{n}})}

である。 $P_{n}$ の焦点は

(h_{n} + p_{n}, 0) = (2 (1 - \frac{1}{2 ^{n}}) + \frac{1}{2 ^{n}}, 0) = (2 - \frac{1}{2 ^{n}}, 0)

である。よって $n \to \infty$ のとき，焦点は $(2, 0)$ に近づく。

九州大学 1993年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 1993年度
理系数学第1問