九州大学 1993年度
理系数学 第4問

解答

(1)

新しい座標として $u=\frac{x+y}{\sqrt{2}},v=\frac{x-y}{\sqrt{2}}$ を用いる。逆に $x=\frac{u+v}{\sqrt{2}},y=\frac{u-v}{\sqrt{2}}$ である。

点 $(x,y)$ が行列 $A$ により $(X,Y)$ に移るとする。すると $X+Y=t(x+y),X-Y=\frac{1}{t}(x-y)$ である。つまり $u,v$ 座標で見れば $u⟼tu,v⟼\frac{1}{t}v$ という変換である。

単位円は $u^2+v^2=1$ である。移った後の点の $u,v$ 座標を改めて $u,v$ と書くと，もとの点の座標は $\frac{u}{t},tv$ であるから ${\left(\frac{u}{t}\right)}^2+(tv{)}^2=1$ となる。したがって $\frac{u^2}{t^2}+t^2{v}^2=1$ である。もとの $x,y$ で書けば $\frac{(x+y{)}^2}{2t^2}+\frac{t^2(x-y{)}^2}{2}=1$ である。

(2)

曲線を時計回りに $45^{\circ }$ 回転し，もとの $x=y$ 方向を新しい $x$ 軸に重ねると，(1)の $u$ 軸が新しい $x$ 軸，$v$ 軸が新しい $y$ 軸になる。したがって回転後の式は $\frac{x^2}{t^2}+t^2{y}^2=1$ である。

なお，反時計回りを正として $45^{\circ }$ 回転する約束で書くなら，$u$ 軸は新しい $y$ 軸に重なるので，式は $t^2{x}^2+\frac{y^2}{t^2}=1$ となる。回転の向きが指定されていない場合は，この2つは軸の入れ替わりとして区別される。

(3)

定点 $P_0(x_0,y_0)$ について $u_0=\frac{x_0+y_0}{\sqrt{2}},v_0=\frac{x_0-y_0}{\sqrt{2}}$ とおく。移った後の点を $(X,Y)$ とし，その $u,v$ 座標を $U=\frac{X+Y}{\sqrt{2}},V=\frac{X-Y}{\sqrt{2}}$ とおく。(1)より $U=t{u}_0,V=\frac{v_0}{t}$ である。したがって $UV=u_0{v}_0$ であり，これは $\frac{(X+Y)(X-Y)}{2}=\frac{(x_0+y_0)(x_0-y_0)}{2}$ すなわち $X^2-Y^2=x_0^2-y_0^2$ と書ける。

ただし $t>0$ なので，符号条件も必要である。$x_0+y_0\ne 0$，$x_0-y_0\ne 0$ のときは $(X+Y)(x_0+y_0)>0,(X-Y)(x_0-y_0)>0$ を満たす枝である。

もし $x_0+y_0=0$ なら $U=0$ なので，軌跡は直線 $X+Y=0$ 上で $(X-Y)(x_0-y_0)>0$ を満たす半直線である。もし $x_0-y_0=0$ なら $V=0$ なので，軌跡は直線 $X-Y=0$ 上で $(X+Y)(x_0+y_0)>0$ を満たす半直線である。