九州大学 1993年度
後期・理系数学 後期 第4問

解答

(1)

定義式に $x=0$ を代入すると，積分区間の長さが0なので $f(0)=0$ である。

次に $f^{\prime }(x)$ を求める。上端から出る項は $g(x)\sin 0=0$ であり，$\sin (x-t)$ を $x$ で微分すると $\cos (x-t)$ になる。したがって $f^{\prime }(x)={\int }_0^{x}g(t)\cos (x-t)dt$ である。よって $f^{\prime }(0)=0$ である。

(2)

さらに微分する。上端から出る項は $g(x)\cos 0=g(x)$ であり，$\cos (x-t)$ を $x$ で微分すると $-\sin (x-t)$ になる。したがって $f^{\prime \prime }(x)=g(x)-{\int }_0^{x}g(t)\sin (x-t)dt$ である。定義式より右辺の積分は $f(x)$ だから $f^{\prime \prime }(x)=g(x)-f(x)$ である。すなわち求める関係式は $f^{\prime \prime }(x)+f(x)=g(x)$ である。

(3)

条件 $g(x)=\sin x+f(x)$ と(2)の関係式を合わせると $f^{\prime \prime }(x)+f(x)=\sin x+f(x)$ である。よって $f^{\prime \prime }(x)=\sin x$ を得る。

(1)より $f(0)=0$，$f^{\prime }(0)=0$ である。まず $f^{\prime \prime }(x)=\sin x$ を積分すると $f^{\prime }(x)=-\cos x+C_1$ である。$f^{\prime }(0)=0$ より $-1+C_1=0$ だから $C_1=1$ である。したがって $f^{\prime }(x)=1-\cos x$ である。さらに積分して $f(x)=x-\sin x+C_2$ となる。$f(0)=0$ より $C_2=0$ であるから $f(x)=x-\sin x$ である。

最後に $g(x)=\sin x+f(x)$ へ代入して $g(x)=x$ を得る。実際，この $f,g$ は $f(0)=f^{\prime }(0)=0$ と $f^{\prime \prime }+f=g$ を満たすので，求める関数は $f(x)=x-\sin x,g(x)=x$ である。