問題
次図のように，平面の軸上に底辺があり，曲線上に頂点がある正三角形が隣接しながら無限に並んでおり，その最左端の頂点は原点であるとする．そして，左から番目の正三角形の辺の長さはであるとし，とする．
(1) との関係を求めよ．
(2) であることを証明せよ．ただし，はを満たす正の数である．
(3) を求めよ．
出典：九州大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第3問
方針
左から 番目までの正三角形の半辺長の和を と見ると， 番目の底辺の中央の 座標は ，高さは である。この頂点が 上にあることから， の式を作る。 を使えば が一定になり，これを足し上げて を求める。極限は に戻して有理化する。
解答
(1)
左から 番目までの正三角形の底辺の長さの合計は である。したがって，左から 番目の正三角形の底辺は， 軸上で にある。この正三角形の頂点の 座標は底辺の中点なので であり， 座標は高さより である。
この頂点は曲線 上にあるから である。よって を得る。さらに だから である。
(2)
条件 より，(1)の関係は と書ける。 であるから， についてこの式を足すと となる。したがって である。 は正の数の和なので であり， だから である。
(3)
(2)より である。したがって である。ここで有理化すると であるから， となる。 とすると右の分数は に近づく。よって である。