問題
を区間に含まれる実数とするとき，方程式で与えられる曲線は，すべて2点およびを通る放物線である．
(1) ，以外の任意の点をとするとき，これらの放物線のうち，を通るものはたかだか1つしかないことを証明せよ．
(2) が上記の区間を動くとき，これらの放物線の頂点はいかなる曲線を描くか．
出典：九州大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第2問
方針
曲線 を と書き直す。(1)では点 を通る条件を について解き， のときはそれぞれ になることを確認してから一意性を示す。(2)では放物線の頂点座標を で表し， から範囲を読み取り，最後に を消去して軌跡の方程式を得る。
解答
(1)
与えられた方程式は であるから， と書ける。
点 が曲線 上にあるとする。もし なら上の式から となり， である。もし なら となり， である。いま は 以外だから である。
このとき より と決まる。分母は により0でないので， は高々1つしかない。したがって，点 を通る放物線 はたかだか1つである。
(2)
は であり， だから2次の係数 は正である。頂点の 座標を ， 座標を とすると であり， である。
ここで から である。逆に に対して とおけば を満たすので，範囲は で尽くされる。 から である。これを に代入すると を得る。したがって頂点が描く曲線は である。