問題
とする．はで極小値0をとる．また曲線は点を通り，その点における接線は点を通るとする．そのとき次の問に答えよ．
(1) 係数，，，を求めよ．
(2) 曲線と軸により囲まれる領域の面積を求めよ．
出典：九州大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問
方針
で極小値0をとるので， かつ であり，三次式 は を因数にもつ。そこで とおき， と接線の傾き から を決める。面積は因数分解した形から，囲まれる範囲が であることと符号を確認して定積分する。
解答
(1)
は で極小値0をとるから である。したがって は少なくとも重解であり，三次式 は と書ける。
曲線は点 を通るので である。これより すなわち を得る。
また，点 における接線は点 を通る。したがってその傾きは であり， である。ここで だから， である。よって すなわち である。
連立して を得る。したがって であり， である。
別解。条件を直接連立してもよい。，，， を に代入すると， となる。これを解いて同じく を得る。
(2)
(1)より である。 は常に0以上であり， では である。したがって，曲線と 軸で囲まれる部分は にあり，その面積は である。
展開すると だから， を計算する。奇関数部分 の積分は対称性により0である。よって
となる。求める面積は である。