問題
とする．1からの数字を個の空でない部分に分割する方法の数をで表す．たとえば，のとき分割は，，となるのでである．次の問に答えよ．
(1) を求めよ．
(2) を求めよ．
(3) を求めよ．
(4) のときをとを用いて表せ．
方針
空でない部分への分割では，部分の名前を区別しないことに注意する。(1)は1組だけが2個組になり，残りが1個組になる。(2)は，3個組が1つできる場合と，2個組が2つできる場合に分ける。(3)は2つの部分の入れ替えを同一視するため，全割り当てから空の場合を除いて2で割る。最後の漸化式は，新しい数字 が単独の部分を作る場合と，既にある 個の部分のどれかに入る場合を分けて数える。
解答
(1)
個の数字を 個の空でない部分に分けるには，ちょうど1つの部分だけが2個の数字を含み，残りの 個の部分は1個ずつでなければならない。したがって，2個組にする数字を選べば分割は一意に決まる。よって である。
(2)
個の数字を 個の空でない部分に分けるには， 個の単独部分から部分の個数を2だけ減らす必要がある。可能性は次の2通りである。
1つ目は，3個の数字が同じ部分に入る場合である。この場合は3個を選べばよいので 通りである。
2つ目は，2個組が2つできる場合である。この場合は，まず4個の数字を選び，その4個を2組に分ける。4個を2組に分ける方法は 通りであるから， 通りである。
以上より である。
(3)
2つの部分を一時的に区別して，各数字をどちらか一方に入れると考えると，割り当て方は 通りある。このうち片方が空になる割り当てが2通りあるので，両方が空でない割り当ては 通りである。
ただし，本問では2つの部分の名前を区別しない。同じ分割は，2つの部分の入れ替えにより2回数えられている。したがって である。
別解。部分の名前を区別しないことを初めから処理するなら，数字1を含む部分を一方として固定する。残りの 個の数字について，数字1と同じ部分に入れるか，もう一方の部分に入れるかを選ぶと 通りある。このうち全員が数字1と同じ部分に入る場合だけは，もう一方が空になるので除く。よって である。
(4)
を 個の空でない部分に分けることを考える。
まず， が単独で1つの部分を作る場合がある。このとき残りの は 個の空でない部分に分かれるので， 通りである。
次に， が単独でない場合を考える。先に を 個の空でない部分に分け，その後で をその 個の部分のどれか1つに入れればよい。したがって 通りである。
この2つの場合は重ならないから， である。