九州大学 1993年度
文系数学 第3問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系
- 分野
- 微分、積分、図形と方程式
- 解法
- 定積分評価、軌跡、文字消去
- 難易度
- 5 / 10 計算量 5 / 10 目安 18分
問題
cを正の定数とする．0≦t≦cにおいて関数f(t)，g(t)を次の式が成立するように定める（f′(t)などはtに関する微分を表す）．
f′(t)=−1,f(0)=2,g′(t)=f(t),g(0)=7
さらにc≦tにおいて関数h(t)，k(t)を次の式が成立するように定める．
h′(t)=1,h(c)=f(c),k′(t)=h(t),k(c)=g(c)
このとき，次の問に答えよ．
(1) 点(f(t),g(t))の軌跡を求めよ．
(2) 点(h(t),k(t))の軌跡が原点を通るとき，cを求めよ．
出典：九州大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
前半では，微分条件をそのまま積分して f(t),g(t) を求め，x=f(t)，y=g(t) から t を消去する。後半では，h′(t)=1 と接続条件から h(t) を求め，k′(t)=h(t) を x=h(t) に関する関係 dk/dx=x と見て放物線の形に直す。原点を通る条件は定数項が0であることだが，得られた c で原点が軌跡の範囲に入ることも確認する。
解答
(1)
0≦t≦c で f′(t)=−1,f(0)=2 であるから，f(t)=2−t である。また g′(t)=f(t)=2−t，g(0)=7 より g(t)=7+∫0t(2−u)du=7+2t−2t2 である。
点 (f(t),g(t)) の座標を (x,y) とおくと x=2−t であり，したがって t=2−x である。これを y=g(t) に代入すると y=7+2(2−x)−2(2−x)2=9−2x2 となる。また 0≦t≦c から 2−c≦x≦2 である。よって求める軌跡は y=9−2x2(2−c≦x≦2) である。
(2)
c≦t では h′(t)=1，h(c)=f(c)=2−c である。よって h(t)=t−c+2−c=t+2−2c である。
点 (h(t),k(t)) の座標を (x,y) とおく。すると x=h(t)=t+2−2c であり，dx/dt=1 である。また k′(t)=h(t) だから dxdy=dx/dtdk/dt=h(t)=x となる。したがって軌跡は y=2x2+C の形である。 t=c のとき，x=h(c)=2−c であり，y=k(c)=g(c)=7+2c−2c2 である。これを y=2x2+C に代入して C=7+2c−2c2−2(2−c)2=5+4c−c2 を得る。したがって後半の軌跡は y=2x2+5+4c−c2(x≧2−c) である。
この軌跡が原点を通るには，まず 0=5+4c−c2 でなければならない。すなわち c2−4c−5=0 であるから (c−5)(c+1)=0 となる。c>0 より c=5 である。このとき範囲は x≧2−5=−3 であり，x=0 は確かに含まれる。よって求める値は c=5 である。
