問題
1次変換により，直線は自身に移り，直線は直線に移る．このとき次の問に答えよ．
(1) ，，を求めよ．
(2) 不等式の表す領域の1次変換による像を求めよ．
出典：九州大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
直線 が同じ直線へ移る条件は，方向ベクトル が再び 上の方向になることとして式にする。直線 については，点 を変換して，得られた がすべて を満たすように係数比較する。(2)は変換が正則であることを確認し，移った後の座標を とおいて逆に を表し，もとの条件 を の不等式へ直す。
解答
(1)
行列を
とおく。直線 の方向ベクトルは である。このベクトルは
に移る。これが再び直線 の方向であるため， すなわち である。
次に，直線 上の点を とおく。この点は に移る。これがすべて直線 上にあるので， が の恒等式として成り立つ。係数を比較して を得る。これと を合わせると， である。したがって を得る。
(2)
(1)より変換は で表される。行列式は で0でないから，逆に を で表せる。連立方程式を解くと である。
もとの不等式は すなわち である。上の式を代入すると となる。したがって，移った後の領域は すなわち である。通常の座標名 で書けば，求める領域は である。