九州大学 1992年度理系数学第5問解答・解説

問題

$x$ と書いた玉が $a$ 個， $y$ と書いた玉が $b$ 個入っている袋がある．この中から2個取り出して $x$ と $y$ の個数を調べて元に戻す．ただし， $a ≧ 2$ ， $b ≧ 2$ とする．このとき， $x y$ 平面上で点 $P$ を

・ 2個とも $x$ ならば $x$ 軸の正の方向に2，

・ $x$ が1個と $y$ が1個ならば $x$ 軸， $y$ 軸の正の方向にそれぞれ1，

・ 2個とも $y$ ならば $y$ 軸の正の方向に2，

だけ進ませる試行を考える．点 $P$ が原点 $(0, 0)$ から出発し，この試行を繰り返し行うとき，次の問に答えよ．

(1) 1回後に点 $P$ が存在し得る点とその点に存在する確率をそれぞれ求めよ．

(2) 2回後に点 $P$ が存在し得る点とその点に存在する確率をそれぞれ求めよ．

(3) $a = b$ のとき2回後に点 $P$ が存在する確率が一番大きな点を求めよ．

出典：九州大学 1992年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

1回の移動を、 $(2, 0), (1, 1), (0, 2)$ の3通りとその確率に分ける。2回後は独立な2回の移動の和なので、同じ点に到達する組み合わせを足し合わせる。 $a = b$ のときは3つの1回移動確率が $p = r$ 、 $q > p$ となるため、2回後の5点の確率を比較して最大点を決める。

解答

(1)

袋の中の玉の総数を $N = a + b$ とおく。2個とも $x$ である確率は

\frac{_{a} C _{2}}{_{N} C _{2}} = \frac{a ( a - 1 )}{N ( N - 1 )}

であり、このとき点は $(2, 0)$ に移る。

1個が $x$ 、1個が $y$ である確率は $\frac{ab}{_{N} C _{2}} = \frac{2 ab}{N ( N - 1 )}$ であり、このとき点は $(1, 1)$ に移る。

2個とも $y$ である確率は

\frac{_{b} C _{2}}{_{N} C _{2}} = \frac{b ( b - 1 )}{N ( N - 1 )}

であり、このとき点は $(0, 2)$ に移る。したがって1回後に存在し得る点と確率は

(2, 0) : \frac{a ( a - 1 )}{N ( N - 1 )}, (1, 1) : \frac{2 ab}{N ( N - 1 )}, (0, 2) : \frac{b ( b - 1 )}{N ( N - 1 )}

である。

(2)

簡単のため

p = \frac{a ( a - 1 )}{N ( N - 1 )}, q = \frac{2 ab}{N ( N - 1 )}, r = \frac{b ( b - 1 )}{N ( N - 1 )}

とおく。1回の移動はそれぞれ $(2, 0), (1, 1), (0, 2)$ であり、確率は $p, q, r$ である。2回後の点はこの2回の移動の和であるから、 $(4, 0) : p^{2}$ である。 $(3, 1)$ は $(2, 0) + (1, 1)$ または $(1, 1) + (2, 0)$ で起こるので $(3, 1) : 2 pq$ である。 $(2, 2)$ は $(1, 1) + (1, 1)$ または $(2, 0) + (0, 2)$ 、 $(0, 2) + (2, 0)$ で起こるので $(2, 2) : q^{2} + 2 p r$ である。同様に $(1, 3) : 2 q r, (0, 4) : r^{2}$ である。したがって

点 確率 (4, 0) p^{2} (3, 1) 2 pq (2, 2) q^{2} + 2 p r (1, 3) 2 q r (0, 4) r^{2}

である。

(3)

$a = b$ とする。このとき対称性より $p = r$ である。また

p = r = \frac{a ( a - 1 )}{2 a ( 2 a - 1 )} = \frac{a - 1}{2 ( 2 a - 1 )}, q = \frac{2 a ^{2}}{2 a ( 2 a - 1 )} = \frac{a}{2 a - 1}

である。したがって $q = \frac{2 a}{2 ( 2 a - 1 )} > \frac{a - 1}{2 ( 2 a - 1 )} = p$ である。

2回後の確率は、対称性により $(4, 0) と (0, 4) : p^{2}, (3, 1) と (1, 3) : 2 pq$ であり、中央の点 $(2, 2)$ の確率は $q^{2} + 2 p^{2}$ である。

まず $q^{2} + 2 p^{2} - p^{2} = q^{2} + p^{2} > 0$ なので、中央の確率は端の確率より大きい。また $q^{2} + 2 p^{2} - 2 pq = (q - p)^{2} + p^{2} > 0$ なので、中央の確率は隣の確率よりも大きい。したがって2回後に点 $P$ が存在する確率が最も大きい点は $(2, 2)$ である。

九州大学 1992年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 1992年度
理系数学第5問