問題
立方体の辺，の中点を，それぞれ，，とする．点が辺上を動くとき，3点，，を通る平面によるこの立方体の切り口をとし，この多角形の周の長さが最小となる点をとする．このとき，次の問に答えよ．
(1) ，として，の周の長さを表す式を求めよ．
(2) は辺の中点であることを示せ．
(3) 直線は，，を通る平面に垂直であることを証明せよ．
(4) を求めよ．
方針
立方体を一辺2の座標空間に置き、、、 とする。まず平面 の式を出し、立方体の各面との交線から切り口の6頂点を拾う。周長は2種類の辺長の和になるので を求め、微分で最小を示す。 の平面の法線方向を使えば、 との垂直性と も内積で確認できる。
解答
(1)
立方体を とおく。このとき である。
平面 は、これら3点を代入して と表される。 である。
この平面と立方体の辺との交点を順に拾う。底面 では だから、切り口は を通る。面 では から へ進む。面 では へ進む。上面 では へ進む。さらに面 では から へ進み、面 では から に戻る。
したがって切り口は六角形 である。辺の長さは であり、また である。よって周の長さは である。
(2)
である。 とすると である。 なので両辺を2乗して すなわち より を得る。
また は で増加するので、 は の前で負、後で正である。したがって最小となるのは のときであり、このとき である。よって である。
(3)
のとき、平面 の式は すなわち である。したがってこの平面に垂直な方向は である。
一方 である。よって は平面 に垂直な方向と平行である。したがって である。
(4)
であるから であり、 である。内積を計算すると
である。したがって2つのベクトルは垂直であり、 である。