九州大学 1992年度
理系数学 第3問

解答

(1)

曲線上の点を $(x,y)$ とする。この点における法線は $(0,cy)$ を通るので、$x\ne 0$ のとき法線の傾きは $\frac{cy-y}{0-x}=\frac{(1-c)y}{x}$ である。

接線の傾きは $\frac{dy}{dx}$ であり、接線と法線は垂直だから $\frac{dy}{dx}\cdot \frac{(1-c)y}{x}=-1$ である。両辺を整理して $\boxed{(c-1)y\frac{dy}{dx}=x}$ を得る。$x=0$ の点でも、得られた式は連続的に同じ関係を表している。

(2)

(1)の微分方程式を積分する。 $(c-1)y\frac{dy}{dx}=x$ より $(c-1)ydy=xdx$ と見て積分すると $(c-1)y^2=x^2+C$ と書ける。曲線は $(0,1)$ を通るので $c-1=C$ である。したがって $(c-1)y^2=x^2+c-1$ であり、$\boxed{y^2=1+\frac{x^2}{c-1}}$ である。 $c>1$ のときは $y^2-\frac{x^2}{c-1}=1$ となり、上下に開く双曲線である。$c<1$ のときは $y^2=1-\frac{x^2}{1-c}$ すなわち $\frac{x^2}{1-c}+y^2=1$ となり、$x$ 軸方向の半径が $\sqrt{1-c}$、$y$ 軸方向の半径が1のだ円である。

(3)

$c<1$ とし、$\alpha =\sqrt{1-c}$ とおく。このとき曲線は $y^2=1-\frac{x^2}{{\alpha }^2}(-\alpha \leqq x\leqq \alpha )$ である。これを $x$ 軸のまわりに回転してできる体積は

である。計算すると

これが $\pi$ に等しいので $\frac{4\alpha }{3}=1$ であり、$\alpha =\frac{3}{4}$ である。したがって $1-c={\alpha }^2=\frac{9}{16}$ より $\boxed{c=\frac{7}{16}}$ である。