九州大学 1992年度
理系数学 第2問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 理系
- 分野
- 微分、数列
- 解法
- 接線・法線、漸化式の変形、極限計算
- 難易度
- 6 / 10 計算量 5 / 10 目安 20分
問題
3次曲線C:y=x3+9x2+9x+2上に点P0(x0,y0)をとる．ただし，x0>0とする．さらに自然数nに対して，C上の点Pn(xn,yn)を「Pn−1を通る直線が点Pn (=Pn−1)でCと接する」ように定める．このとき，次の問に答えよ．
(1) n>0のとき，関係式2xn+xn−1+9=0が成り立つことを示せ．
(2) xnをx0で表せ．
(3) 点Pnはnを大きくするとC上の定点に近づくことを示し，その定点を求めよ．
出典：九州大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
Pn における接線が Pn−1 を通る条件を、接線の式に xn−1 を代入して表す。差 f(xn−1)−f(xn)−f′(xn)(xn−1−xn) は因数分解でき、Pn=Pn−1 から残りの因子が0になる。漸化式は xn+3 を見ると等比数列になり、極限点は x=−3 を曲線に代入して求める。
解答
(1)
f(x)=x3+9x2+9x+2 とおく。点 Pn における接線の式は y=f(xn)+f′(xn)(x−xn) である。この接線が Pn−1(xn−1,yn−1) を通るので f(xn−1)=f(xn)+f′(xn)(xn−1−xn) である。
ここで f′(x)=3x2+18x+9 だから、左辺から右辺を引いて整理すると
0=f(xn−1)−f(xn)−f′(xn)(xn−1−xn)=(xn−1−xn)2(xn−1+2xn+9)
である。Pn=Pn−1 なので xn=xn−1 である。したがって xn−1+2xn+9=0 すなわち 2xn+xn−1+9=0 である。
(2)
(1)より xn=−21xn−1−29 である。両辺に3を加えると xn+3=−21(xn−1+3) である。したがって xn+3 は公比 −21 の等比数列であり、xn+3=(−21)n(x0+3) である。よって xn=−3+(−21)n(x0+3) である。
(3)
(−21)n→0 だから、(2)より xn→−3 である。点 Pn は曲線 C 上にあるので yn=f(xn)→f(−3) である。実際に f(−3)=(−3)3+9(−3)2+9(−3)+2=−27+81−27+2=29 である。したがって Pn は (−3,29) に近づく。
