問題
仲の良い4人の友達，，，がクリスマスパーティーでプレゼントを交換する．つまり，4人の持ち寄ったプレゼントを公平な抽選で分けるのである．これについて，次の問に答えよ．
(1) 君が自分自身の持ってきたプレゼントに当たる確率を求めよ．
(2) 君には君の持ってきたプレゼントが当たり，残りの，，のうちの誰かが自分自身の持ってきたプレゼントに当たる確率を求めよ．
(3) 自分自身の持ってきたプレゼントに誰も当たらない確率を求めよ．
方針
4人へのプレゼントの割り当てを、4個の品物を4人に対応させる順列として数える。(1)は対称性でよい。(2)は が の品物を受け取ることを固定し、残る3人と3個の品物の対応を数える。(3)は誰も自分の品物を受け取らない順列を、包除または直接列挙で数える。
解答
(1)
4個のプレゼントは公平に配られるので、 君に当たるプレゼントは4個のうちどれも同じ確率である。したがって、 君が自分のプレゼントに当たる確率は である。
(2)
全体の配り方は 通りである。 君に 君のプレゼントが当たることを固定すると、残りは の3人へ、 の3個のプレゼントを配るので 通りである。
このうち、残りの の誰かが自分自身のプレゼントに当たる場合を数える。ただし、 君のプレゼントはすでに 君に渡っているので、 君が自分のプレゼントに当たることはない。したがって、 君または 君が自分のプレゼントに当たる場合を数えればよい。 君が自分のプレゼントに当たる場合は、残る への配り方が2通りである。同様に 君が自分のプレゼントに当たる場合も2通りである。両方が自分のプレゼントに当たる場合は1通り重複して数えている。よって条件を満たす配り方は 通りである。したがって求める確率は である。
(3)
誰も自分のプレゼントに当たらない配り方を数える。全体は24通りである。少なくとも1人が自分のプレゼントに当たる配り方を包除で数えると、
通りである。したがって誰も自分のプレゼントに当たらない配り方は 通りである。よって確率は である。
別解。(3)は直接列挙してもよい。 君が受け取るプレゼントは自分以外の3通りである。たとえば 君が 君のプレゼントを受け取ると、残り3人の配り方のうち誰も自分のものを受け取らないものは3通りである。同様のことが 君の選び方3通りについて起こるので、全部で 通りとなり、同じく確率は である。