九州大学 1992年度
文系数学 第3問

解答

(1)

座標を $C=(0,0),B=(1,0)$ と置く。$BC$ を $x$ 軸とするので、$A$ から $BC$ に下ろした垂線の足 $H$ の横座標は、点 $A$ の横座標と等しい。 $q=\tan x$ とおく。$\angle PCB=\frac{\pi }{4}$ だから、直線 $CP$ の傾きは1である。また $\angle PCA=x$ より、直線 $CA$ が $x$ 軸の正の向きとなす角は $\frac{\pi }{4}+x$ である。したがって直線 $CA$ の傾きは $\tan \left(\frac{\pi }{4}+x\right)=\frac{1+q}{1-q}$ である。

一方、$\angle ABC=2x$ だから、直線 $BA$ の傾きは $-\tan 2x=-\frac{2q}{1-q^2}$ である。よって直線 $BA$ は $y=-\frac{2q}{1-q^2}(X-1)$ と表せる。点 $A$ の横座標を $X$ とすると、$A$ は直線 $CA$ 上にもあるので $\frac{1+q}{1-q}X=-\frac{2q}{1-q^2}(X-1)$ である。分母を払って整理すると $(1+q{)}^{2}X=2q(1-X)$ であり、$(q^2+4q+1)X=2q$ となる。したがって $X=\frac{2q}{q^2+4q+1}$ である。

よって $y=BH=1-X=1-\frac{2q}{q^2+4q+1}=\frac{(q+1{)}^2}{q^2+4q+1}$ である。$s=1+q$ だから $q=s-1$ を代入して $q^2+4q+1=(s-1{)}^2+4(s-1)+1=s^2+2s-2$ である。ゆえに $\boxed{y=\frac{s^2}{s^2+2s-2}}$ を得る。

(2)

(1)の途中で得た式を使うと

である。 $\frac{\pi }{8}\leqq x\leqq \frac{\pi }{6}$ では $q=\tan x$ も増加し、さらに $0<q<1$ である。そこで $\phi (q)=\frac{2q}{(q+1{)}^2}$ とおくと ${\phi }^{\prime }(q)=\frac{2(1-q)}{(q+1{)}^3}>0$ である。したがって最大は $q$ が最大、すなわち $x=\frac{\pi }{6}$ のときに起こる。

このとき $q=\frac{1}{\sqrt{3}}$ だから

である。よって $\boxed{\text{最大値 }2\sqrt{3}-3,x=\frac{\pi }{6}}$ である。