問題
平面上に四角形と，この四角形の外部に点がある．これらの点から得られるベクトルについて，関係式
が成り立つとき，次の問に答えよ．
(1) ，，，とおくとき，をとで表せ．
(2) 四角形はどのような四角形か．
(3) 直線と直線の交点をとするとき，との長さの比を求めよ．
(4) 四角形と四角形の面積の比を求めよ．
出典：九州大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
2つの条件式をすべて で表し直す。第1式から を で表し、第2式へ代入して を決める。四角形 の形は辺ベクトルで判定し、交点 は 上と 上の2通りに表して係数比較する。面積比は を基準にした平面座標で四角形 の面積を計算し、平行四辺形 と比べる。
解答
(1)
である。第1式 に代入すると である。よって となり、 を得る。
次に第2式を で表す。
だから である。すなわち である。ここに を代入すると となる。したがって より である。
(2)
(1)より であるから
である。また
である。したがって、向かい合う2組の辺がそれぞれ平行で長さも等しいので、四角形 は である。
(3)
点 は直線 上にあるので、ある実数 を用いて と書ける。また直線 上にもあるので、ある実数 を用いて とも書ける。
一方 だから である。係数を比較すると である。第2式を第1式へ代入して より を得る。したがって は から を越えた位置にあり、 である。ゆえに である。
(4)
平行四辺形 の面積を基準にする。 を2つの方向の基準として、点を係数で表すと であり、また だから である。
この座標で四角形 の面積を求める。平行四辺形 の面積を1と見れば、四角形 の面積は
である。したがって となる。よって である。