九州大学 1992年度文系数学第2問解答・解説

問題

$P_{0} (x) = 1$ ， $P_{1} (x) = x$ ， $P_{2} (x) = \frac{1}{2} (3 x^{2} - 1)$ とおくとき，次の問に答えよ．

(1) $\int_{- 1}^{1} P_{m} (x) P_{n} (x) d x$ $(0 ≦ m ≦ n ≦ 2)$ の値を定めよ．

(2) $a_{0}$ ， $a_{1}$ ， $a_{2}$ を定数として，

f (x) = a_{0} P_{0} (x) + a_{1} P_{1} (x) + a_{2} P_{2} (x)

とおく．このとき，

a_{k} = \frac{2 k + 1}{2} \int_{- 1}^{1} f (x) P_{k} (x) d x (k = 0, 1, 2)

が成り立つことを示せ．

出典：九州大学 1992年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

(1)は $P_{0}, P_{1}, P_{2}$ の積をすべて調べる。奇関数になる積分は0になり、偶関数になるものだけを直接計算すればよい。(2)は $f$ の展開式の両辺に $P_{k} (x)$ を掛けて $[- 1, 1]$ で積分する。異なる番号どうしの積分が0になるため、 $a_{k}$ を含む項だけが残る。

解答

(1)

まず $P_{0} (x) = 1, P_{1} (x) = x, P_{2} (x) = \frac{1}{2} (3 x^{2} - 1)$ である。

同じ番号どうしの積分を計算する。 $\int_{- 1}^{1} P_{0} (x)^{2} d x = \int_{- 1}^{1} 1 d x = 2$ であり、

\int_{- 1}^{1} P_{1} (x)^{2} d x = \int_{- 1}^{1} x^{2} d x = 2 \int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{2}{3}

である。また $P_{2} (x)^{2} = \frac{1}{4} (9 x^{4} - 6 x^{2} + 1)$ だから

\int_{- 1}^{1} P_{2} (x)^{2} d x = \frac{1}{4} (9 \cdot \frac{2}{5} - 6 \cdot \frac{2}{3} + 2) = \frac{1}{4} (\frac{18}{5} - 4 + 2) = \frac{2}{5} .

次に異なる番号どうしを見る。 $\int_{- 1}^{1} P_{0} (x) P_{1} (x) d x = \int_{- 1}^{1} x d x = 0$ である。また $\int_{- 1}^{1} P_{1} (x) P_{2} (x) d x = \frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} (3 x^{3} - x) d x = 0$ である。さらに

\int_{- 1}^{1} P_{0} (x) P_{2} (x) d x = \frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} (3 x^{2} - 1) d x = \frac{1}{2} (3 \cdot \frac{2}{3} - 2) = 0.

したがって

\int_{- 1}^{1} P_{m} (x) P_{n} (x) d x = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{2}{2 n + 1}, 0, m = n, m \neq = n (0 ≦ m ≦ n ≦ 2)

である。

(2)

$f (x) = a_{0} P_{0} (x) + a_{1} P_{1} (x) + a_{2} P_{2} (x)$ の両辺に $P_{k} (x)$ を掛けて $- 1$ から $1$ まで積分する。すると

\int_{- 1}^{1} f (x) P_{k} (x) d x = j = 0 \sum 2 a_{j} \int_{- 1}^{1} P_{j} (x) P_{k} (x) d x

である。

(1)より、 $j \neq = k$ の項は0であり、 $j = k$ の項だけが残る。よって

\int_{- 1}^{1} f (x) P_{k} (x) d x = a_{k} \int_{- 1}^{1} P_{k} (x)^{2} d x = a_{k} \frac{2}{2 k + 1}

である。したがって $a_{k} = \frac{2 k + 1}{2} \int_{- 1}^{1} f (x) P_{k} (x) d x (k = 0, 1, 2)$ が成り立つ。

九州大学 1992年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 1992年度
文系数学第2問