問題
3次関数で定まる曲線をとする．
(1) 上の点におけるの接線が点を通るとき，との関係式を求めよ．
(2) 点からへちょうど2本の接線が引けるようなの値を求めよ．
出典：九州大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問
方針
接点の 座標を とし，接線の方程式に点 を代入して の関係を作る。(2) では，点 から引ける接線の本数は，この関係式を についての三次方程式と見たときの実数解の個数に等しい。ちょうど2本になるのは，三次方程式が重解と単解をもつ場合なので，判別式が になる を調べ，実際に接点が2個であることを因数分解で確認する。
解答
(1)
であるから である。点 における接線の方程式は である。この接線が点 を通るので である。
ここに を代入すると である。展開して より を得る。
(2)
(1) の式を，接点の 座標 についての方程式 と見る。この方程式の相異なる実数解の個数が，点 から引ける接線の本数である。
三次方程式がちょうど二つの相異なる実数解をもつためには，重解をもつ必要がある。その判別式を計算すると である。ここで なので，実数 について判別式が になるのは だけである。
実際に確認する。 のとき，方程式は となり，接点の 座標は の二つである。したがって接線は2本である。
また のとき，方程式は となり，接点の 座標は の二つである。したがってこの場合も接線は2本である。
よって求める値は である。