九州大学 1991年度
文系数学 第3問

解答

(1)

二つの曲線の交点は $nx=\frac{x^2}{2}$ より $x(x-2n)=0$ であるから $x=0,x=2n$ である。$0\leqq x\leqq 2n$ では $y=nx$ が上側，$y=x^2/2$ が下側である。したがって $S_n={\int }_0^{2n}\left(nx-\frac{x^2}{2}\right)dx$ である。計算すると

である。よって $\boxed{S_n=\frac{2}{3}{n}^3}$ である。

(2)

$n=1$ のとき，$0\leqq x\leqq 2$ である。整数 $x$ ごとに数えると，$x=0\text{ で }y=0,$ $x=1\text{ で }\frac{1}{2}\leqq y\leqq 1\text{ より }y=1,$ $x=2\text{ で }y=2$ であるから $N_1=3$ である。 $n=2$ のとき，$0\leqq x\leqq 4$ であり，整数 $x$ ごとの個数は $1,2,3,2,1$ である。したがって $N_2=1+2+3+2+1=9$ である。よって $\boxed{N_1=3,N_2=9}$ である。

(3)

整数 $x$ を一つ固定する。格子点の $y$ 座標は $\frac{x^2}{2}\leqq y\leqq nx$ を満たす整数である。

まず $x=2k$ とおく。このとき $k=0,1,\dots ,n$ であり，下端は $\frac{x^2}{2}=\frac{4k^2}{2}=2k^2$ で，上端は $nx=2nk$ である。したがってこの $x$ に対する格子点の個数は $2nk-2k^2+1$ である。

次に $x=2k+1$ とおく。このとき $k=0,1,\dots ,n-1$ である。下端は $\frac{x^2}{2}=\frac{4k^2+4k+1}{2}=2k^2+2k+\frac{1}{2}$ なので，整数 $y$ の最小値は $2k^2+2k+1$ である。上端は $n(2k+1)$ であるから，この $x$ に対する格子点の個数は $n(2k+1)-(2k^2+2k+1)+1=2nk+n-2k^2-2k$ である。

よって $N_n={\sum }_{k=0}^n(2nk-2k^2+1)+{\sum }_{k=0}^{n-1}(2nk+n-2k^2-2k)$ である。和の公式を用いると ${\sum }_{k=0}^n(2nk-2k^2+1)=\frac{n(n+1)(n-1)}{3}+n+1$ であり，${\sum }_{k=0}^{n-1}(2nk+n-2k^2-2k)=\frac{n(2n^2+1)}{3}$ である。したがって $N_n=\frac{2n^3+4n+3}{3}$ を得る。よって $\boxed{N_n=\frac{2n^3+4n+3}{3}}$ である。