九州大学 1991年度文系数学第2問解答・解説

問題

$x y z -$ 空間内の図形 $K$ を不等式

0 ≦ x ≦ 1, y ≧ 0, z ≧ 0, y + z ≦ 1

で定める．次の問に答えよ．

(1) $K$ の概形をかけ．

(2) $K$ を $z -$ 軸のまわりに1回転させた回転体の体積を求めよ．

出典：九州大学 1991年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

図形 $K$ は， $y z$ 平面内の直角三角形を $x$ 方向に長さ $1$ だけ平行に動かしてできる三角柱である。(2) は高さ $z$ で水平に切り，その断面 $0 ≦ x ≦ 1$ ， $0 ≦ y ≦ 1 - z$ を $z$ 軸のまわりに回転させる。回転後の断面は原点から最も遠い角 $(1, 1 - z)$ までを半径にもつ円板になるので，円板の面積を $z = 0$ から $1$ まで積分する。

解答

(1)

不等式 $y ≧ 0, z ≧ 0, y + z ≦ 1$ は， $y z$ 平面上で頂点 $(0, 0), (1, 0), (0, 1)$ をもつ直角三角形を表す。ただし，ここでの座標は $(y, z)$ で見ている。

さらに $0 ≦ x ≦ 1$ であるから，この直角三角形を $x$ 軸方向に長さ $1$ だけ伸ばした三角柱が $K$ である。したがって概形は， $x$ 方向の長さが $1$ ， $y z$ 平面に平行な断面が直角三角形である三角柱である。

(2)

高さ $z$ を固定する。 $0 ≦ z ≦ 1$ のとき，断面は $0 ≦ x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ 1 - z$ で表される長方形である。この長方形を $z$ 軸のまわりに回転させると， $x y$ 平面内で原点からの距離が最大になる点は $(x, y) = (1, 1 - z)$ である。したがって回転後の水平断面は，半径 $R (z) = 1 + (1 - z)^{2}$ の円板である。

よって求める体積を $V$ とすると $V = π \int_{0}^{1} R (z)^{2} d z = π \int_{0}^{1} {1 + (1 - z)^{2}} d z$ である。ここで

\int_{0}^{1} {1 + (1 - z)^{2}} d z = \int_{0}^{1} (2 - 2 z + z^{2}) d z = 2 - 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}

だから $V = \frac{4 π}{3}$ である。

九州大学 1991年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 1991年度
文系数学第2問