九州大学 1991年度文系数学第1問解答・解説

問題

行列 $A = (1131)$ ， $P = (31 - 3 1)$ について次の問に答えよ．

(1) $P^{- 1} A P$ を求めよ．

(2) 正整数 $m$ に対し， $A^{m}$ を求めよ．

(3) $x_{1} = y_{1} = 1$ ， $x_{n + 1} = x_{n} + 3 y_{n}$ ， $y_{n + 1} = x_{n} + y_{n}$ ， $r_{n} = \frac{x _{n}}{y _{n}}$ ， $n = 1, 2, 3, \dots\dots$ とおく．このとき $r_{2 n} > r_{2 (n + 1)} > 3$ を示せ．

出典：九州大学 1991年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

(1) は，行列 $P$ の二つの列ベクトルを $A$ がそれぞれ何倍するかを直接計算し， $A P = P D$ の形にして $P^{- 1} A P = D$ を得る。(2) はその結果を $m$ 乗し，最後に $P D^{m} P^{- 1}$ を成分まで戻す。(3) は比 $r_{n} = x_{n} / y_{n}$ の漸化式を作り，偶数番だけを見るために2回合成する。 $r > 3$ のとき，2回後の値が $3$ より大きく，かつ元の $r$ より小さいことを不等式で示して帰納法につなげる。

解答

(1)

$P$ の第1列，第2列をそれぞれ

u_{1} = (31), u_{2} = (- 3 1)

とおく。まず

A u_{1} = (1131) (31) = (3 + 3 3 + 1) = (1 + 3) (31)

である。同様に

A u_{2} = (- 3 + 3 - 3 + 1) = (1 - 3) (- 3 1)

である。したがって

A P = P (1 + 3 0 0 1 - 3)

となる。両辺の左から $P^{- 1}$ を掛けて

P^{- 1} A P = (1 + 3 0 0 1 - 3)

を得る。

(2)

(1) より

A = P D P^{- 1}, D = (1 + 3 0 0 1 - 3)

である。したがって正整数 $m$ に対して $A^{m} = P D^{m} P^{- 1}$ である。ここで $α = (1 + 3)^{m}, β = (1 - 3)^{m}$ とおくと

D^{m} = (α 0 0 β)

である。

また

P = (31 - 3 1), P^{- 1} = \frac{1}{2 3} (1 - 1 33)

であるから，掛け算を行うと

A^{m} = \frac{α + β}{2} \frac{α - β}{2 3} \frac{3 ( α - β )}{2} \frac{α + β}{2}

となる。

(3)

与えられた漸化式は

(x_{n + 1} y_{n + 1}) = A (x_{n} y_{n})

である。 $y_{n} > 0$ は $x_{1} = y_{1} = 1$ と漸化式から帰納的に分かるので， $r_{n} = x_{n} / y_{n}$ を用いると $r_{n + 1} = \frac{x _{n} + 3 y _{n}}{x _{n} + y _{n}} = \frac{r _{n} + 3}{r _{n} + 1}$ である。さらに2回合成すると

r_{n + 2} = \frac{\frac{r _{n} + 3}{r _{n} + 1} + 3}{\frac{r _{n} + 3}{r _{n} + 1} + 1} = \frac{2 r _{n} + 3}{r _{n} + 2}

を得る。

まず $r_{2} = \frac{1 + 3}{1 + 1} = 2 > 3$ である。いま $r > 3$ とする。このとき

\frac{2 r + 3}{r + 2} - 3 = \frac{( 2 - 3 ) r + 3 - 2 3}{r + 2} = \frac{( 2 - 3 ) ( r - 3 )}{r + 2} > 0

である。また $r - \frac{2 r + 3}{r + 2} = \frac{r ^{2} - 3}{r + 2} > 0$ である。したがって $3 < \frac{2 r + 3}{r + 2} < r$ が成り立つ。

これを $r = r_{2 n}$ に適用すれば， $r_{2 n} > 3$ ならば $3 < r_{2 n + 2} < r_{2 n}$ である。 $r_{2} > 3$ から帰納法により，すべての正整数 $n$ について $r_{2 n} > r_{2 (n + 1)} > 3$ が成り立つ。

九州大学 1991年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 1991年度
文系数学第1問