九州大学 1990年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

$x y -$ 平面上の第1象限に，図のように，両端 $A$ ， $B$ がそれぞれ $x$ 軸， $y$ 軸上を動く長さ1の線分がある． $∠ O A B = θ$ $(0 < θ < \frac{π}{2})$ のときの，2点 $A$ ， $B$ を通る直線を $L_{θ}$ で表す．次の問に答えよ．
% 図は省略

(1) $L_{θ}$ の方程式を求めよ．

(2) $L_{θ}$ と $L_{θ_{0}}$ $(θ \neq = θ_{0})$ の交点の座標を $(X (θ, θ_{0}), Y (θ, θ_{0}))$ とするとき，

X (θ_{0}) = θ \to θ_{0} lim X (θ, θ_{0}), Y (θ_{0}) = θ \to θ_{0} lim Y (θ, θ_{0})

を求めよ．

(3) $θ_{0}$ が0から $\frac{π}{2}$ まで変化するときの，点 $(X (θ_{0}), Y (θ_{0}))$ の軌跡 $C$ を求めよ．

(4) 曲線 $C$ の長さを求めよ．

出典：九州大学 1990年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

長さ1の線分の端点を $A = (cos θ, 0)$ 、 $B = (0, sin θ)$ と置き、まず切片形で直線 $L_{θ}$ を書く。(2) は近い2本の直線の交点の極限なので、直線の式と、 $θ$ を少し変えたときの一次の変化が消える条件を連立する。これにより $X = cos^{3} θ$ 、 $Y = sin^{3} θ$ を得る。(3) は媒介変数を消去し、(4) はこの媒介表示から弧長を積分する。

解答

(1)

線分 $A B$ の長さが $1$ で、 $∠ O A B = θ$ であるから $A = (cos θ, 0), B = (0, sin θ)$ である。したがって $L_{θ}$ は切片形で $\frac{x}{c o s θ} + \frac{y}{s i n θ} = 1$ と表される。

(2)

直線の式を $F (x, y, θ) = \frac{x}{c o s θ} + \frac{y}{s i n θ} - 1 = 0$ と書く。 $L_{θ}$ と $L_{θ_{0}}$ の交点を、 $θ \to θ_{0}$ と近づけた極限では、 $F (x, y, θ_{0}) = 0$ に加えて、 $θ$ を少し変えたときの一次の変化も消える。したがって

\frac{x sin θ _{0}}{cos ^{2} θ _{0}} - \frac{y cos θ _{0}}{sin ^{2} θ _{0}} = 0

も成り立つ。

これを $\frac{x}{c o s θ _{0}} + \frac{y}{s i n θ _{0}} = 1$ と連立する。第2式から $x sin^{3} θ_{0} = y cos^{3} θ_{0}$ である。これを直線の式に代入すれば $X (θ_{0}) = cos^{3} θ_{0}, Y (θ_{0}) = sin^{3} θ_{0}$ を得る。

(3)

$0 < θ_{0} < π /2$ で $x = cos^{3} θ_{0}, y = sin^{3} θ_{0}$ である。よって $x^{2/3} + y^{2/3} = cos^{2} θ_{0} + sin^{2} θ_{0} = 1$ である。端点も含めて考えると、求める軌跡 $C$ は第1象限の $x^{2/3} + y^{2/3} = 1$ である。

(4)

媒介表示

x = cos^{3} θ, y = sin^{3} θ (0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2})

を用いる。すると

\frac{d x}{d θ} = - 3 cos^{2} θ sin θ, \frac{d y}{d θ} = 3 sin^{2} θ cos θ

である。したがって曲線の長さは

\int_{0}^{π /2} (\frac{d x}{d θ})^{2} + (\frac{d y}{d θ})^{2} d θ = \int_{0}^{π /2} 3 sin θ cos θ cos^{2} θ + sin^{2} θ d θ = \int_{0}^{π /2} 3 sin θ cos θ d θ = \frac{3}{2}

である。

九州大学 1990年度後期・理系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

九州大学 1990年度
後期・理系数学後期第4問