九州大学 1990年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

a_{1} = a, a_{k + 1} + b a_{k} = 1, k = 1, 2, \dots\dots

によって決められる数列について次の問に答えよ．

(1) 第 $k$ 項を求めよ．

(2) $k = 1 \sum n a_{k}$ を求めよ．

出典：九州大学 1990年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

漸化式 $a_{k + 1} + b a_{k} = 1$ は、定数解を引くと等比型になる。 $b \neq = - 1$ では定数解 $1/ (1 + b)$ を使って $a_{k + 1} - L = - b (a_{k} - L)$ と直し、一般項を求める。 $b = - 1$ では定数解の分母が消えるので別扱いにし、等差数列として処理する。和はそれぞれ等比数列の和、等差数列の和を用いる。

解答

(1)

まず $b \neq = - 1$ とする。定数 $L$ が $L + b L = 1$ を満たすように取ると $L = \frac{1}{1 + b}$ である。漸化式から $a_{k + 1} - L = - b (a_{k} - L)$ となるので、 $a_{k} - L$ は公比 $- b$ の等比数列である。したがって $a_{k} - L = (a_{1} - L) (- b)^{k - 1}$ であり、 $a_{1} = a$ より $a_{k} = \frac{1}{1 + b} + (a - \frac{1}{1 + b}) (- b)^{k - 1}$ である。

次に $b = - 1$ の場合、漸化式は $a_{k + 1} - a_{k} = 1$ となる。よって $a_{k} = a + k - 1$ である。

(2)

$b \neq = - 1$ のとき、(1) の式を足し合わせて

k = 1 \sum n a_{k} = \frac{n}{1 + b} + (a - \frac{1}{1 + b}) k = 1 \sum n (- b)^{k - 1}

である。等比数列の和より $\sum_{k = 1}^{n} (- b)^{k - 1} = \frac{1 - ( - b ) ^{n}}{1 + b}$ だから

k = 1 \sum n a_{k} = \frac{n}{1 + b} + (a - \frac{1}{1 + b}) \frac{1 - ( - b ) ^{n}}{1 + b}

である。 $b = - 1$ のときは $\sum_{k = 1}^{n} a_{k} = \sum_{k = 1}^{n} (a + k - 1) = na + \frac{n ( n - 1 )}{2}$ である。

九州大学 1990年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 1990年度
後期・理系数学後期第2問